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2015届广东六校联盟第二次联考试题

数学（理科）

（满分150分） 考试时间：120分钟

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）

1．已知集合
,
,则

A. ( B. R C. (0，1) D. (((，1)

2． 命题：“
，
”的否定是

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

3．设
是等差数列
的前
项和，已知
49，则
的等差中项是

A.
B. 7 C.
D.

4．函数
在点(0，1)处的切线的斜率是

A.
B.
C. 2 D. 1

5. 已知等边
的边长为1，则

A．
B．
C．
D．

6. 已知角
终边上一点
的坐标是
，则

A.
B.
C.
D.

7．数列
中，
(
N*，
是常数)，则
是数列
成等比数列的

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件

8. 已知向量
不共线，向量
，则下列命题正确的是

A. 若
为定值，则
三点共线.

B. 若
，则点
在
的平分线所在直线上.

C. 若点
为
的重心，则
.

D. 若点
在
的内部（不含边界），则
.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）

9．已知函数
，则
＝ ．

10. 已知函数
是定义在
上的奇函数，则
= .

11. 右图是函数
的部分图象，则
.

12．
.

13. 已知
，且
依次成等比数列，设
，则
这三个数的大小关系为 .

14.给出下列命题：

(1)设
是两个单位向量，它们的夹角是
，则

；

(2)已知函数
，若函数
有3个零点，则0<
<1；

(3)已知函数
的定义域和值域都是
，则
＝1；

(4)定义在R上的函数
满足
，则
.

其中，正确命题的序号为 .

参考答案

1、C；2、B；3、B；4、C；5、A； 6、A；7、D；8、D

9、
；10、0；11、
；12、
；13、
；14、(1)(2)(3)

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15.（本小题满分12分）

在
中，设角
的对边分别为
，且
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，
，求边
的大小．

解：(1)因为
，所以

………………………………4分

即
，

又因为
，所以
，

所以
，

又因为

所以
． ………………………………8分

(2) 因为
，即

所以
，解得
（舍），
． ………………………………12分

16.（本小题满分12分）

已知正项等比数列
中，
，且
成等差数列.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
，求数列
的前n项和
.

解：设等比数列
的公比为q，

由
成等差数列知，
，

∴
∵
∴
………………………………4分

(1)∵
∴
………………………………6分

(2)∵
，

∴

∴
……………8分

∴

∴
………………………………12分

17．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求
的值；

（2）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（3）说明
的图像是如何由函数
的图像变换所得.

17．解： ∵

………………………4分

（1）
………………………6分

（2）
的最小正周期为
………………………8分

当
(
Z)，

即
(
Z)时，函数
单调递增，

故所求单调增区间为每一个
(
Z). ………………………11分

（3）解法1：

把函数
的图像上每一点的向右平移
个单位，

再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)，

再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，

就得到函数
的图像. .………………………14分

解法2：

把函数
的图像上每一点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)，

再把所得图像上的每一点的向右平移
个单位，

再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，

就得到函数
的图像. .………………………14分

18.（本小题满分14分）

已知数列
的首项
，其前
和为
，且满足
(
N*)．

(1)用
表示
的值；

(2)求数列
的通项公式；

(3)对任意的
N*，
，求实数
的取值范围．

解析：(1)由条件
得
，
. ………………………2分

(2)由条件
得，
………………………3分

两式相减得

，

解法1：

故
，

两式再相减得

，

构成以
为首项，公差为6的等差数列；

构成以
为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分

由(1)得
；

由条件
得
，得
，

从而
，

………………………………9分

解法2：

设
，即

则

有

时，
即

………………………………9分

(3)对任意的
N*，
，

当
时，由
，有
得
………①；

当
时，由
，有

，即

若
为偶数，则
得
………②；

若
为奇数，则
得
………③.

由①、②、③得
. …………………………………………14分

19.（本小题满分14分）

已知函数
，设曲线
过点
，且在点
处的切线的斜率等于
，
为
的导函数，满足
．

（1）求
；

（2）设
，
，求函数
在
上的最大值；

（3）设
，若
对
恒成立，求实数
的取值范围．

解：（1）求导可得
………………………………………1分

∵
， ∴
的图像关于直线
对称，∴
……………2分

又由已知有：
∴
………………………………4分

∴
………………………………………5分

（2）
，

………………………………………7分

其图像如图所示．

当
时，
，根据图像得：

（ⅰ）当
时，
最大值为
；

（ⅱ）当
时，
最大值为
；

（ⅲ）当
时，
最大值为
． …………………………………10分

（3）
，

记
，有 …………………………………………11分

当
时，


，

只要
，

实数
的取值范围为
， …………