一、填空题（共计14小题，每小题5分，共计70分）

1．设全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{ 1,3,4}，则?UA＝ .

2．写出命题:“若
，则
”的否命题: .

3.复数
的模等于 .

4.设
，则“
”是“直线
与直线
平行”

的 条件.

5. 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．

6.曲线C：
在
处的切线斜率为____ ____.

7. 已知
，
，则
.

8.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为 .

9. 已知函数

为奇函数，则不等式
的解集为 .

10.实数x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为 .

11．设
,若
时均有
，则
.

12．设函数
，若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是 .

13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB

＝2，则|＋|的最大值是 .

14. 已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝3，则xyz的最大值是________．

二、解答题（共计6小题，第15,16,17题每题14分，第18,19,20题每题16分，共计90分）

15．已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（2）设△
的内角
的对边分别为
且
，
，若
，求
的值．

16．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)， C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18. 如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

19．已知
的三个顶点
，
，
，其外接圆为圆
．

(1)若直线过点，且被圆
截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段
上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点
，使得点是线段
的中点，求圆
的半径的取值范围．

20．已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．

高三数学附加题 2014.10

选修4－2：矩阵与变换

21．变换
是逆时针旋转
的旋转变换，对应的变换矩阵是
；变换
对应的变换矩阵是
．

（Ⅰ）求点
在变换
作用下的点
的坐标；

（Ⅱ）求函数
的图象依次在变换
，
作用下所得曲线的方程．

选修4—4：坐标系与参数方程

22．已知圆C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（t是参数）。若直线
与圆C相切，求实数m的值。

23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为
”．

（I）当
时，记
，求
的分布列及数学期望；

（II）当
时，求
的概率．

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测

高 三 数 学 答 案 2014.10

由
，得

的单调递减区间
，

（2）
，则
，

，
，所以
，

所以
，
，

因为
，所以由正弦定理得
， ①

由余弦定理得
，即
②

由①②解得：
，
．

16. 解：(1)方法一：∵＋＋＝0，

又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，

∴解得

即＝(2，2)，故||＝2.

方法二：∵＋＋＝0，

则(－)＋(－)＋(－)＝0，

∴＝(＋＋)＝(2，2)，

∴||＝2.

(2)∵＝m＋n，

∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，

∴

两式相减得，m－n＝y－x，

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.

17. （1）由不等式
的解集为
知

关于x的方程
的两根为－1和n，且

由根与系数关系，得
∴
，

所以原不等式化为
，

①当
时，原不等式化为
，且
，解得
或
；

②当
时，原不等式化为
，解得
且
；③

④当
时，原不等式化为
，且
，解得
或
；

综上所述

当
时，原不等式的解集为
或
；

当
时，原不等式的解集为
或
．

（2）

18. 解：（方法一）

如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．

设点P(x0，y0)．

因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．

由P到直线AN的距离为，

得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以点P(1，3)．

显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得xB＝1－．

由解得yC＝．

设△ABC的面积为S，则S＝(xB(yC＝＝－1＋．

由S(＝＝0得k＝－或k＝3．

当－2＜k＜－时，S(＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S(＞0，S单调递增．13分

所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．

（方法二）

如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．

设点P(x0，y0)．

因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．

由P到直线AN的距离为，

得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以点P(1，3)．

显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得xB＝1－．

由解得yC＝．

设△ABC的面积为S，则S＝(xB(yC＝＝－1＋．

令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝．

因此S＝－1＋＝－1＋＝－1＋．

因为当t∈(－25，－9)时，t＋∈(－34，－30]，

当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋的最大值为4．从而S有最小值为15．

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．

（方法三）

如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．

因为P到AM，AN的距离分别为3，，

即PE＝3，PF＝．

由S△ABC＝S△ABP＋S△APC

＝(x(3＋(y( ＝(3x＋y)． ①

因为tan(＝－2，所以sin(＝．

所以S△ABC＝(x(y( ． ②

由①②可得(x(y( ＝(3x＋y)．

即3x＋5y＝2xy． ③

因为3x＋5y≥2，所以 2xy≥2．

解得xy≥15．

当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．

所以S△ABC＝(x(y( 有最小值15．

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．

19. (1)线段
的垂直平分线方程为
，线段
的垂直平分线方程为
，所以外接圆圆心
，半径
，
的方程为
．

设圆心到直线的距离为，因为直线被
截得的弦长为2，所以
．

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即
为所求；

当直线不垂直于轴时，设直线方程为
，则
，解得
，

综上，直线的方程为
或
．

(2) 直线
的方程为
，设
，

因为点是点，的中点，所以
，又
都在半径为的
上，

所以
即
因为该关于
的方程组有解，即以
为圆心为半径的圆与以
为圆心为半径的圆有公共点，所以
，

又
，所以
对
]成立．

而
在[0，1]上的值域为[，10]，故
且
．

又线段
与圆无公共点，所以
对
成立，即
.故
的半径的取值范围为
．

20. 解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.

所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

当

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当

当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.

同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.

故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

所以

此时g(x)在区间[0，l