2015届高三第一次质量检测数学

一．填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）

1. 函数f(x)＝＋的定义域为________．

2. 若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．

3. 曲线y＝x－cosx在x＝处的切线方程为________．

4. 已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．

5. 对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：

① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；

② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；

③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；

④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．

其中，正确的说法是________．(填序号)

6. 已知函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若f＝4，则f(2 014)的值为________．

7. 已知函数f(x)＝mx2＋x＋m＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

8. 已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos(α－)＝____________．

9.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

10. 函数f(x)＝sin2x·sin－cos2x·cos在上的单调递增区间为_________．

11. 已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为________．

12. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则f＝__________．

13. 已知cos＝，且－π＜α＜－，则cos＝________．

14. 若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．

二．解答题：（共6小题，总分90分）

15.（本题14分）已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.

(1) 求sin(α－β)的值；

(2) 求cosβ的值．

16. （本题14分）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(1) 求f(x)与g(x)的解析式；

(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

17.（本题15分）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.

(1) 求函数f(x)的定义域；

(2) 判断函数f(x)的奇偶性；

(3) 求函数f(x)的值域．

18. （本题15分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最低点为M.

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应x的值．

19.（本题16分）已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝

(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

20. （本题16分）已知函数

（1）当
时，求函数
的单调增区间；

（2）当
时，若曲线
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点，求实数的值

1. (2013·山东)函数f(x)＝＋的定义域为________．

2. (必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．

答案：

3. (选修22P26习题5)曲线y＝x－cosx在x＝处的切线方程为________．

答案：x－y－－＝0

4. (2013·新课标)已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．

答案：a>b>c

5. (必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：

① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；

② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；

③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；

④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．

其中，正确的说法是________．(填序号)

答案：①③

6. 已知函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若f＝4，则f(2 014)的值为________．

答案：0

7. (必修1P54测试6改编)已知函数f(x)＝mx2＋x＋m＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案：

8. 已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos(α－)＝____________．

答案：0

9. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

答案：(－5，0)∪(5，＋∞)

10. 函数f(x)＝sin2x·sin－cos2x·cos在上的单调递增区间为_________．

答案：

11. (2013·徐州期初)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为________．

答案：log23

12. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则f＝__________．

答案：－

13. (必修4P21例题4改编)已知cos＝，且－π＜α＜－，则cos＝________．

14. 若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．

答案：k<－4

15.　(2013·常州期末)已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.

(1) 求sin(α－β)的值；

(2) 求cosβ的值．

.

16.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(1) 求f(x)与g(x)的解析式；

(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，

所以图象关于x＝－1对称，即－＝－1，即m＝2.

又f(1)＝1＋m＋n＝3，所以n＝0，所以f(x)＝x2＋2x.

又y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称，

所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，

所以g(x)＝－x2＋2x.

(2) 由(1)知，F(x)＝(－x2＋2x)－λ(x2＋2x)＝－(λ＋1)x2＋(2－2λ)x.

当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝＝，

因为F(x)在(－1，1]上是增函数，

所以或

所以λ<－1或－1<λ≤0.

当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然成立．

综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．

17.　已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.

(1) 求函数f(x)的定义域；

(2) 判断函数f(x)的奇偶性；

(3) 求函数f(x)的值域．

解：(1) 由得－1

所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．

(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数．

(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，

设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．

所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，

设0

所以lgt1＋(t－1)

所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，

所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．

18.　(2013·苏州期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最低点为M.

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应x的值．

19.　已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝

(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

解：(1) 当0

当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.

所以，W＝

(2) ① 当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；

② 当x>40时，W＝－－16x＋7 360，

由于＋16x≥2＝1 600，

当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.

综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6 104.

20.略