东台市安丰中学2015届高三第一次学分认定考试数学试题

命题人：曹继东 审核人：丁华干 2014.10.4

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

1．已知集合
= ▲ ；

2.命题“
，使得
”的否定是 ▲ ；

3．
的值为 ▲ ；

4. 已知
，那么
的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”

“既不充分又不必要”)

5.平面向量
的夹角为
，
▲ ；

6.设
则
▲ ；

7.函数
的单调减区间为 ▲ ；

8.已知
，
，则
▲ ；

9.设
，则不等式
的解集为 ▲ ；

10. 设{
}是公比为正数的等比数列，若
＝4，
＝16，则数列{
}的前5项和为= ▲ ；

11. 定义在R上的奇函数
对任意
都有
，当
时，
，则
▲ ；

12. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝ ▲ ；

13. 已知函数
函数
，若存在
，使得
成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

14. 对于实数a和b，定义运算“﹡”：
，设
，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 ▲

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置上．

15．（本题满分14分）

已知
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，且
，求
的值．

16.（本题满分14分）

已知函数
的定义域为集合M，函数
的值域为N。

（1）求M，N；

（2）求
，
。

17.（本题满分14分）

已知函数
．

（1）求
的单调递增区间；（2）求
在
上的最值及相应的x值．

18.（本题满分16分）

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排
，在路南侧沿直线排
，现要在矩形区域ABCD内沿直线将
与
接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．

（1）求W关于的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角．

19．(本题满分16分)

已知数列
中,
且点
在直线
上.

(1)求数列
的通项公式;

(2)若函数
求函数
的最小值;

(3)设
表示数列
的前项和.试问:是否存在关于的整式
,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出
的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.

20.（本题满分16分）

已知函数
（
为常数），其图象是曲线．

（1）当
时，求函数
的单调减区间；

（2）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线
与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

东台市安丰中学2015届高三第一次学分认定考试

数学试题参考答案 2014.10.4

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

1．
2.
，使得
． 3．
．4. 必要不充分 5. 1 6.

7.
． 8.
9.
10. 31 11.
12. 30°

13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置上．

15．（本题满分14分）

解：（1）∵

∴
.………………………6分

（2）
，

∵
，∴

………………………10分

………………………12分

.………………………14分

16.（本题满分14分）

解：（1）依题意，
，所以
.………………………4分

当
时，
;当
时,
;当
时，

所以
. ………………….…………………….…………………………7分

（2）由（1）知
. ………………………10分

，所以
……………………………………14分

17.（本题满分14分）

【解析】
＝

＝
＝
. …………………………6分

（1）由
得

所以
的单调递增区间是[
,
],
. …………………………10分

（2）由
得
，所以
，

因此，函数的最大值是2，此时
；函数的最小值是
，此时
． ……………14分

18.（本题满分16分）

解：（1）如图，过E作
，垂足为M，

由题意得
，

故有
，
，
，

所以W=
………………………6分

（2）设
，

则
．

令
得
，即
，得
． ……………………8分

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有．
………………………14分

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
． . ………………………16分

19．(本题满分16分)

.……………………… 4分

.……………………… 10分

……… 16分

20.（本题满分16分）

解：(1)当
时，
. ……………2分

令f ((x)<0，解得
，所以f(x)的单调减区间为
． ……………4分

(2)
，由题意知
消去，

得
有唯一解．……………………………6分

令
，则
，

所以
在区间
，
上是增函数，在
上是减函数，…………8分

又
，
，

故实数的取值范围是
． ………………………10分（此解法错误）

(3)设
，则点处切线方程为
，

与曲线：
联立方程组，得
，即
，

所以点的横坐标
． ………………………………………12分

由题意知，
，
，

若存在常数，使得
，则
，

即存在常数，使得
，

所以
解得
，
． ……………………………15分

故
时，存在常数
，使
；

时，不存在常数，使
． ………………………………16分