东莞市第七中学2015届高三第一次月考

数学（文）试题

参考公式：锥体的体积公式
， 其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一．选择题。(共50分)

1．函数
的定义域为 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知集合
，
，则
（ ）

．

．

．

．

3．已知
是虚数单位，若
，则实数
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
，
，
，若（

）

，则
（ ）

　　　

5. 如图所示的方格纸中有定点O，
，
，
，
，
，
，

则
（ ）

．

．

．

．

6．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是

A．
B．

C．
D．

7．在△
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．圆
关于直线
对称的圆的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

9. 若变量
满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．设
、
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）

A．
∥
，
∥
且
∥
，则
∥

B．
⊥
，
⊥
且
⊥
，则
⊥

C．
⊥
，n

，
⊥
．则
⊥

D．


，


，
∥
，
∥
，则
∥

二． 填空题。（共20分）

11. 设递增的等差数列
的前
项和为
，且
、
是方程
的两个根，

则
=

12.在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标可以是 ．

13. 已知C的参数方程为
(
为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 .

14. 定义两个平面向量的一种运算
，则关于平面向量上述运算的以下结论中，

①
，②
，③若
，则
，

④若
且
则
.

恒成立的有 .(填序号 )

三． 解答题（共80分）

15. （满分14分）已知函数的图象经过点
．

（1）求实数
的值；

（2）求函数
的最小正周期与单调递增区间．

16. （满分12分）为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)

社团

相关人数

抽取人数



模拟联合国

24

a



街舞

18

3



动漫

b

4



话剧

12

c



(1)求a，b，c的值；

(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别自这两个社团的概率.

17. （满分14分）某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：

甲



乙



9　8

8

4 　8　9



2　1　0

9


6





（1）求
；

（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在
之间的概率．

18. （满分14分）如图6，四棱锥
的底面是正方形，侧棱
⊥平面
，
、
分别是
、
的中点．

⑴求证：
平面
；

⑵求证：
.

19. （满分12分）

已知函数
的图像经过点
．

（1）求
的值；

（2）在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，且
．求
．

20. （满分14分）

如图4，已知三棱锥
的则面
是等边三角形，
是
的中点，
,
.

(1)证明：
平面
；

（2）求点
到平面
的距离.

 高三文科数学 第二次月考答案

15. 解：（1）因为函数
的图象经过点
，

所以
．

即
． ……………1分

即
． ……………3分

解得
． ……………4分

所以函数
的单调递增区间为

．………14分

16.解 (1)由表可知抽取比例为，故a＝4，b＝24，c＝2. …………4分

(2)设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个， …8分

其中2人分别自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个 …11分

所以这2人分别自这两个社团的概率P＝. ……………12分

17.解：（1）依题意得
………2分

解得
…………4分

（2） 从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88,89），（88,90），（88,91），（88,92），（89,90），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92） …7分

共10种 …………8分

其中至多有一份得分在
之间的所有结果有：（88,91），（88,92），（89,91），（89,92），（90,91），（90, 92），（91,92） …………11分

共7种 …………12分

所以在抽取的样品中，至多有一份得分在
之间的概率
………14分

18. 证明：(1) 取PD得中点F，连AF、FN。--------1分

19.

20.

证明：(1)∵
,
是等边三角形

∴
,故
是直角三角形，

∴
(2分)

同理可证
(3分)

∵
平面
，∴
平面
(4分)

又∵
平面
，∴
(5分)

又∵
是
的中点，∴
(6分)

∵
, ∴
平面
(7分)

(2) ∵
,

∴
,故
是直角三角形，
(8分)

∴
(9分)

由（1）可知，
是三棱锥
的高

∴
(10分)

又∵
是边长为
等边三角形，

∴
(11分)

设点
到平面
的距离为
，则
(12分)

∵
,即
，解得

∴点
到平面
的距离为
(14分)