第Ⅰ卷选择题

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，
，则
等于

A
B
C
D

2．已知复数
，则
的值为（ ）

A.
B. C. D.

3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若

P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）.

A．10 B．9 C．8 D．7

已知双曲线C：
﹣
=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的

方程为（ ）A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1

5．设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是（ ）

A．144 B．3 C．0 D．12

6．设函数
，且其图像相邻的两条对称轴为
，则( )

A．
的最小正周期为
，且在
上为增函数

B．
的最小正周期为，且在
上为减函数

C．
的最小正周期为,且在
上为增函数

D．
的最小正周期为，且在
上为减函数

7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，

AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A.
B.
C.
D．

8． 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A.
B.
C．
D.

若
则
的值为（ ） A．2 B．0 C．-1 D．-2

10．设
，
，
则（ ）

A.
B.
C.
D.

11．若函数 的图象在
处的切线与圆

相切，则
的最大值是（ ）

A.4 B.
C.2 D.

设函数
的定义域为,若函数
满足条件：存在
,使
在
上的值域是
则称
为“倍缩函数”，若函数
为“倍缩函数”，则t的范围是( )

A.
B.

D.

第II卷非选择题

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知
满足
,则
的最大值为.

14．平面向量
，
，
（
），且
与
的夹角等于

与
的夹角，则
.

15．函数
的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，
是图象与轴的交点，则
_________.

16．若集合
且下列四个关系：

①
；②
；③
；④
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
的个数是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）在
中，角
所对的边分别为a,b,c，

且

（1）求函数
的最大值；

（2）若
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

已知函数
，数列
的前项和为
，点
均在函数
的图象上.

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
，证明：
.

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD，
，FC平面ABCD， AE BD，CB = CD = CF．

(Ⅰ)求证：平面ABCD平面AED；

(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值

20．（本小题满分12分）某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题．

（1）分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数；

（2）分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值；

（3）定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设ξ表示抽出的成绩中优秀的个数，求ξ的分布列及数学期望．

21．（本小题满分12分）椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为
，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为
的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，

(1)求C的方程； (2)证明：
为定值.

22．（本小题满分12分）已知函数
.

（1）若函数
在区间

上存在极值点，求实数a的取值范围；

（2）如果当
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围；

2014-2015学年度10月月数学（理）答案

选择题：

填空题：(13) 3 (14) 2 (15) 8 (16) 6

1．【解析】M＝
，N＝
，故
＝
【答案】D

2．【解析】首先
，然后由等比数列求和公式得：
，【答案】B

5．【解析】第一轮：当输入
时，则
，此时
；第二轮：
，此时
；第三轮：
，此时
；第四轮：
，此时
，所以输出3，故正确答案为B. 【答案】B

6．【解析】因为
=
，由其图像相邻的两条对称轴为
知，
且
，解得
=2，
，所以
，

其的最小正周期为，且在
上为减函数，故选D．【答案】D

7．【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝
＝13，即R＝
【答案】C

8．【解析】由三视图知该几何体是底面为两直角边分别为
，1的直角三角形，高为
直三棱柱，其体积为
=
，故选D. 【答案】D

9．【解析】此题为赋值型的题，先令
，解得
，结合要求的式子的形式可令
，就出现了
，所以
=-1．【答案】C

12．【解析】函数
为“倍缩函数”，且满足存在
,

使
在
上的值域是
,
在
上是增函数；

即
；

方程
有两个不等的实根，且两根都大于
；

设
,
有两个不等的实根，且两根都大于
；

即
解得
,故选A．【答案】A

13．【解析】画出可行域如图所示，目标函数
过点B处时取得最大值，最大值为3. 【答案】3

14．【解析】由题意得：
，

法二、由于OA，OB关于直线
对称，故点C必在直线
上，由此可得

15．【解析】过作
的垂线，垂足为，∵
，
，
，
，
，
，

∴
.

16．【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得
.由
即
.可得
.两种情况.由
.所以有一种情况.由
即
.可得
.共三种情况.综上共6种.

17. 已知函数
，数列
的前项和为
，点
均在函数
的图象上.（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
，证明：
.

18．在
中，角
所对的边分别为a,b,c，且

（1）求函数
的最大值；（2）若
，求
的值.

【解析】

（1）

当
，即当
时，
取得最大值，且最大值为

（2）由题意得

又由（1）知
.

由
，得
所以的值为．

19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD，
，FC平面ABCD， AE BD，CB = CD = CF．

(Ⅰ)求证：平面ABCD平面AED；

(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值

【解析】 (Ⅰ)∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴∠ADC=∠BCD=120°，又CB=CD，∴∠CDB=30°，

∴∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，

∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．

(Ⅱ)连结AC，由(Ⅰ)知AD⊥BD，∴AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直，

以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1，

则A（
，0，0），B（0，1，0），D（
，
，0），F（0，0，1），

∴
=（
，
，0），
=＝(0，?1，1)，
=（-
，0，1），

设平面BDF的一个法向量为
＝(x，y，z)，则
，

取z=1，则
=（
，1，1），所以
=
，

∴直线AF与面BDF所成角的余弦值为
． （12分）

20．某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题．

（1）分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数；

（2）分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值；

（3）定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设ξ表示抽出的成绩中优秀的个数，求ξ的分布列及数学期望．

【解析】（1）甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是72，70；

（2）

∴甲乙两班物理样本成绩的平均值分别是71分、70分

（3）ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为
，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为

，

，

∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

4



P















21．椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为
，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为
的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，

(1)求C的方程； (2)证明：
为定值.

【解析】(Ⅰ)因为离心率为
，所以
＝
．

当m＝0时，l的方程为y＝
x，代入
并整理得x2＝
．

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，

＝－
－
＝－

＝－
·
．

又因为
＝－
，所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为
．

(Ⅱ)l的方程为x＝
y＋m，代入
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|PA|2＝(x1－m)2＋
＝

，同理|PB|2＝

． 8分

则|PA|2＋|PB|2＝
(
＋
)＝
[(y1＋y2)2－2y1y2]

＝
[(－
)2－
]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． 12分

22．已知函数
.

（1）若函数
在区间

上存在极值点，求实数a的取值范围；

（2）如果当
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围；

所以
在
上单调递增，
．

因此，

在
上单调递增，
．所以
．