江苏省建陵高级中学2015届高三上学期第一次质量检测数学试题

(总分160分,考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

1. 函数
的最小正周期为

2. 命题“
”的否定是

3.

4. 复数
对应的点位于复平面的第 象限

5.一个算法的流程图如右图所示，则输出S的值为

6. 设函数
是奇函数且周期为3，
= ．

7．已知
，则

8．已知双曲线
垂直，则a=

9.把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”

的概率为

10.已知实数
满足
则
的取值范围是 ．

11．圆
上一点到直线
的距离的最小值为

12．函数
在
上的单调递增区间为

13．将正偶数排列如右表，其中第行第
个数表示为
，

例如
，若
，则
.

14. 下列四种说法：

①命题“x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x2＋1≤3x”；

②“m=－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1=0与直线（m－2）x＋(m＋2)y－3=0相互垂直”的必要不充分条件；

③在区间[－2，2]上任意取两个实数a，b，则关系x的二次方程x2＋2ax－b2＋1=0的两根都为实数的概率为
；

④过点（
，1）且与函数y=
图象相切的直线方程是4x＋y－3=0．

其中所有正确说法的序号是____________。

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．（本小题满分14分）

已知
均为锐角，且
，
．

（1）求
的值； （2）求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

（2）求证：A1B//平面ADC1．

17．(本小题满分14分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数
（万人）与时间（天）的函数关系近似满足
，人均消费
（元）与时间（天）的函数关系近似满足
.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益
（万元）与时间
的函数关系式；

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.

18、（本小题满分16分）

已知函数
(a为实常数).

(1) 若
，求证：函数
在(1，+．∞)上是增函数；

(2) 求函数
在[1，e]上的最小值及相应的值；

19.（本小题满分16分）

已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点
到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为
. 不过A点的动直线
交椭圆于P,Q两点．

求椭圆的标准方程；

（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．

（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；

（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．

必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分.）

1、 2、
3、1 4、 一 5.、45 6、1 7、

8、4 9、
10、
11、2 12.
13、60 14、①③

二、解答题：本大题共6小题，计90分

15．解：（1）∵
，从而
．

又∵
，∴
． …………………………4分

∴
． ……………………………6分

（2）由（1）可得，
．

∵为锐角，
，∴
． …………………………………10分

∴
…………12分

(
(
． ………………………14分

16．（本小题满分14分）

证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD(平面ABC，

所以AD⊥平面BCC1B1． ………………5分

因为DC1(平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． ………………7分

（2）(证法一)

连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．

因为D为BC的中点，所以OD//A1B． ………………11分

因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以A1B//平面ADC1． …………………14分

(证法二)

取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．

所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．

因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，

所以D1B//平面ADC1．

同理可证A1D1//平面ADC1．

因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，

所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分

因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………14分

17．解：（Ⅰ）由题意得，
………………5分

（Ⅱ）因为
…………………7分

①当
时，

当且仅当
，即
时取等号………………………………………10分

②当
时，
，可证
在
上单调递减，所以当
时，
取最小值为
………………………………………………13分

由于
，所以该城市旅游日收益的最小值为
万元……………14分

18、1）当
时，
，当
，
，

故函数
在
上是增函数．…………………………………………………6分

（2）
，当
，
．若
，
在
上非负（仅当
，x=1时，
），故函数
在
上是增函数，此时

．　………………………………………10分

若
，当
时，
；当
时，
，此

时
是减函数； 当
时，
，此时
是增函数．故


．

若
，
在
上非正（仅当
，x=e时，
），故函数
在
上是减函数，此时

．………………………………12分

综上可知，当
时，
的最小值为1，相应的x值为1；当
时，

的最小值为
，相应的x值为
；当
时，
的最小值为
，

相应的x值为．……………………………………………………………………16分

解：（1）设椭圆的标准方程为
.由题意得
.……3分

,
, ……6分 椭圆的标准方程为
.……8分

（2）证明：设点

将
带入椭圆，化简得：


,…………………………………………12分

,

P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.…………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得

(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，

因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． ……………2分

因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分

经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．

（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，

即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ………6分

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②

②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ ………8分

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④

④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)

即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分

因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

所以an＝ …………12分

要使数列{an}是递增数列，须有

a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，

即a＜12－2a，

3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，

3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，

解得＜a＜．

所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ……16分