东莞市第七中学2015届高三第一次月考

数学（理）试题

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

参考公式：锥体体积公式
；柱体体积公式

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．复数
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则?UM=（　　）

A．U B．{1，3，5} C．{2，4，6} D． {3，5，6}

3．在等差数列
中，
，则
（ ）

A．
B．
C．4 D． 8

4．已知
，
，且
，则
( )

A．
B．

C．
或
D．

5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

6．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ 　 ）

A．21

B．39

C．81

D．102

7．若双曲线
的离心率为
，则其渐近线的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中不恒成立的是（ ）

　⑴
⑵

⑶
⑷

A．⑴、⑶ B． ⑵、⑷

C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．若角
的终边过点
，则
_______.

10．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；

11
的展开式中
的系数为 .（用数字作答）

12．已知
满足约束条件
，则
最小值为 。

13．定义在
上的函数
满足
，则
的值为_____.

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）

14．在平面直角坐标系
中，已知圆
（
为参数）和直线
（
为参数），则直线
被圆C所截得弦长为 ；

15．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，

若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为______________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 在
中,角
、
、
的对边分别为
、
、
,且
,
.

(1) 求
的值；

(2) 设函数
,求
的值.

17. 根据空气质量指数
（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表

（数值）















空气质量级别

一级

二级

三级

四级

五级

六级



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



空气质量类别颜色

绿色

黄色

橙色

红色

紫色

褐红色



某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数
进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中

度污染的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个,设
为空气

质量类别颜色为紫色的天数,求
的分布列.

18.如图，四边形
是正方形，
平面
，

，
，
，
，
分别

为
，
，
的中点．

（1）求证：

平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的大小.

19. 已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（1）求
及
；

（2）令bn=
(n
N*)，求数列
的前n项和
．

20. 已知椭圆
的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，过椭圆
的右焦点的动直线
与椭圆
相交于
、
两点.

(1)求椭圆
的方程;

(2)若线段
中点的横坐标为
,求直线
的方程;

(3) 若线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
的中点为
,试求
的取值范围.

21. 已知函数
．

（1）若
，试确定函数
的单调区间；

（2）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）设函数
，求证：
．

东莞市第七高级中学2014—2015学年度第一学期第二次月考

高三年级理科数学试题答案及评分标准

一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 【解析】解法1：(1) 因为
，所以
，……………………………………2分

又
，

所以
， ……………………………3分

………………………………………………4分

……………………………………………5分

所以
……………………………………………8分

……………………………10分

………………………………11分

. ………………………………………12分

17. 【解析】：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分

所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率
.---------------------4分

（2）随机变量
的可能取值为
,-----------------------------------------------5分

则
,-----------------------------------------------------------7分

,----------------------------------------------------------9分

-------------------------------------------------------11分

所以
的分布列为



















--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

18. 【解析】 (1）证明：
,
分别为
，
的中点，

. ……………………1分

又

平面
，

平面
， …………………3分

平面
. …………………………………5分

（2）解
平面
，

，
平面

平面

，
.

四边形
是正方形，
.

以
为原点,分别以直线
为
轴,
轴,
轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设
……………………7分

,

，

，

，

，

，
,

,
.

，
，
分别为
，
，
的中点，

，

，

,
,
………8分

（解法一)设
为平面
的一个法向量，则
,

即
，令
，得
. …………10分

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得
. ……………12分

所以
=
=
. …………………………………13分

所以平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）. ………14分

（解法二)
，
,

是平面
一个法向量. …… ……………………10分

，
,

是平面平面
一个法向量. …… ………………12分

……… … ……………13分

平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）. ………14分

（解法三) 延长
到
使得
连

，

，

四边形
是平行四边形，

四边形
是正方形，

，
分别为
，
的中点，

平面
，

平面
，

平面
. ………7分

平面

平面
平面
………9分

故平面
与平面
所成锐二面角与二面角
相等. … …10分

平面

平面

平面

是二面角
的平面角. …12分

… …………13分

平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
）. … …………14分

19. 【解析】（1）设等差数列
的公差为d，因为
，
，所以有

，解得
，

所以
；
=
=
。

（2）由（1）知
，所以bn=
=

=
，

所以
=
=

，

即数列
的前n项和
=
。

20. 【解析】(1)依题意，有
，
…1分

即
，
，又

解得
…3分

则椭圆方程为
…4分

(2)由（1）知
，所以设过椭圆
的右焦点的动直线
的方程为

将其代入
中得，
， …5分

，设
,
,

则
，∴
，
…6分

因为
中点的横坐标为
，所以
，解得
…7分

所以，直线
的方程
…8分

（3）由（2）知
,

所以
的中点为

所以

……10分

直线
的方程为
, 由
,得
,

则
, 所以
…12分

所以

又因为
,所以
. 所以
.

所以
的取值范围是
…14分

21.【解析】：（1）由
得
，所以
．……2分

由
得
，故
的单调递增区间是
，

由
得
，故
的单调递减区间是
…………4分

（2）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．……5分

由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增．故
，符合题意．…6分

②当
时，
．

当
变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
．……9分

（3）
，……10分

，…11分

，
，…
，

由此得，
………13分

故
．…………14分