本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

1．设集合
，
，则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

2. 已知
为虚数单位，复数
的共轭复数为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 设
，
，
，若
∥
，则
( )

A.
B. 2 C. 1 D. 0

【解析】∵
，
，
∥
，∴
，

即
，

又∵
，∴
，
.

考点：1.平面向量共线的坐标表示；2.三角恒等变形.

4. 设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A. 2 B.
C.
D.

5. 下列命题正确的是

A. “
”是“
”的必要不充分条件

B. 对于命题p：
，使得
，则
：
均有

C. 若
为假命题，则
均为假命题

D. 命题“若
，则
”的否命题为“若
则

6. 若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小正值是（ ）

A.
B.
C.
D.

【解析】
，向右平移
个单位后，得到
的函数图像，∵
函数图像关于
轴对称，

∴当
时，
，即
，
，

∴当
时，
有最小正值
.

考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的图像和性质.

7. 设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是（ ）

A．144 B．3 C．0 D．12

【解析】第一轮：当输入
时，则
，此时
；第二轮：
，此时
；第三轮：
，此时
；第四轮：
，此时
，所以输出3，故正确答案为B. 【答案】B

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A．6　　　　B．9

C．12 D．18

解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.

9. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【解析】设
=
，由题知，
，解得A=1,B=0,∴
49，考点: 等差数列前n项和公式

10. 已知函数
，
.若方程
有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B.

【解析】如图，由已知，函数
，
的图象有两个公共点，画图可知当直线介于
，
之间时，符合题意，故选B.

考点：1.函数与方程；2.数
形结合的数学思想.

11．函数
的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解集为（ ）

A.
B.
C.

D.

【解析】设
，
，即
在R上为增函数,又
，
的解集为
，即
的解集为
.

考点：利用导数求解不等式.

12．设函数
的定义域为
,若函数
满足条件：存在
,使
在
上的值域是
则称
为“倍缩函数”，若函数
为“倍缩函数”， 则
的范围是( )

A.
B.

D.

【解析】
函数
为“倍缩函数”，且满足存在
,使
在

上的值域是
,
在
上是增函数；

即
；

方程
有两个不等的实根，且两根都大于
；

设
,
有两个不等的实根，且两根都大于
；

即
解得
,故选A．【答案】A

考点：1.函数的值域；2.二次方程根的问题.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13. 设
为常数，若点F（5,0）是双曲线
的一个焦点，则
= ．

14. 已知
满足
,则
的最大值为 .

【解析】画出可行域
如图所示，目标函数
过点B处时取得最大值，最大值为3. 【答案】3

考点：线性规划.

15. 函数
的部分图象如右图所示，设
是图象的最高点，
是图象与
轴的交点，则
（ ）

【解析】过
作
的垂线，垂足为
，∵
，
，
，
，
，
，

∴
.

考点：1.三角函数的周期；2.两角和的正切公式.

16. 已知函数
，
.若不等式
在

上恒成立，则实数m的取值范围为

【解析】

∵
， ∴
， ∴
，

∴
，
.

∵不等式
在
上恒成立，∴
在
上恒
成立，

即
在
上恒成立.

因为
在
上的最小值是2，最大值是3， ∴
.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10
分）

在△ABC中，内角
所对的边分别为
，已知
.

（1）求证：
成等比数列；

（2）若
，求△
的面积S.

18．（本题满分12分）

已知数列
的前n项和
（其中c，k为常数），且
2=4，
6=8
3

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求数列
的前n项和Tn．

【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；

（Ⅱ）由（1）知数列
是等比数列,从而数列
就是由一等差数列与一等比数列对应项的积构成的新数列,所以其前n项和Tn,采用乘公比错位相减法求和即可．

试题解析：（Ⅰ）当
时，

则

，

，∴c=2.∵a2=4，即
，解得k=2，∴
（n>1）

当n=1时，
综上所述

（Ⅱ）
，则

（1）
（2）得

考点：1.等比数列的通项公式;2.数列的求和.

19．（本题满分12分）

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2
．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面DOM
⊥平面ABC；

（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．

【解析】（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．

（2）根据题中数据，算出
，BD=2，
，AB=2，从而得到
，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得到OD为三棱锥D-BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积．

试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．

又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O为BD的中点，∴DO=
，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=
，AB=2．

因此，
，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．

∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-B
OM的高．

由OD=2，
，

所以
.

考点：线面平行问题；面面垂直问题；三棱锥的体积.

20．（本题满分12分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求出表中
及图中
的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间
内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间
内的概率.

【答案】（Ⅰ）
,p=0.25,a=0.12; （II）
人; （III）
.

而两人都在
内只能是
一种，所以所求概率为

考点：1.频率分布表与频率分布直方图；2．等可能事件的概率.

21．（本题满分12分）

设函数
，
.

（1）当
（
为自然对数的底数）时，求
的极小值；

（2）讨论函数
零点的个数.

【答案】（1）极小值
；

（2）①当
时，
无零点，

②当
或
时，
有且仅有
个零点，

③当
时，
有两个零点.

【解析】

试题分析：（1）要求
的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对
求导，可知
，再通过列表即可得当
时，