教学合作2015届高三年级十月联考试题

数学（理科）

本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2、下列命题中真命题的个数是

（1）若命题
中有一个是假命题，则
是真命题．

（2）在
中，“
”是“
”的必要不充分条件．

（3）
表示复数集，则有
．

A．0 B．1 C．2 D．3

3、已知四个函数：①
；②
；③
；④
的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①

4、已知
，则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

5、将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数

A．由最大值，最大值为
B．对称轴方程是

C．是周期函数，周期
D．在区间
上单调递增

6、已知函数
的导函数
，

，则
中最大的数是

A．
B．
C．
D．

7、已知
，若函数
满足
，则称
为区间
上的一组“等积分”函数，给出四组函数：

①
； ②
；

③
；

④函数
分别是定义在
上的奇函数且积分值存在．

其中为区间
上的“等积分”函数的组数是

A．1 B．2 C．3 D．4

8、已知
，若
对任意实数
恒成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9、已知由不等式组
，确定的平面区域
的面积为7，定点M的坐标为
，若
，O为坐标原点，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

10、已知函数
设两曲线
有公共点，且在该点处的切线相同，则
时，实数
的最大值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上

11、已知向量
与向量
的夹角为
，若
且
，则
在
上的投影为

12、已知偶函数
在
上满足：当
且
时，总有
，则不等式
的解集为

13、点O是锐角
的外心，
，若
，

则

14、定义在正整数集上的函数
满足（1）
；（2）
，则有

15、（选修4-4：坐标系与参数方程）

曲线C的参数方程是
（
为参数，且
），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为
，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知集合
，集合
，函数
的定义域为集合B．

若
，求集合
；

命题
，命题
，若
是
的必要条件，求实数
的取值范围．

17、（本小题满分12分）

在
中，
所对的边分别为
，向量
，向量

若
．

（1）求角A的大小；

（2）若
外接圆的半径为2，
，求边
的长．

18、（本小题满分12分）

据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风已知向正南方向移动，

其移动速度
与时间
的函数图象如图所示，过线段OC上一

点
作横轴的垂线
，梯形OABC在直线
左侧部分的面积即为
内

台风所经过的路程
．

（1）当
时，求
的值，并将
随
变化的规律用数学关系式表示出来；

（2）若N城位于M地正南方向，且距N地
，试判断这场台风师父会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

19、（本小题满分12分）

某地一天的温度（单位：
）随时间
（单位：小时）的变化近似满足函数关系：

，且早上8时的温度为
，
．

（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？

（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过
时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

20、（本小题满分13分）

已知函数
（其中
为常数）

（1）如果函数
和
有相同的极值点，求
的值，并写出函数
的单调区间；

（2）求方程
在区间
上实数解的个数．

21、（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：当
时，
；

（Ⅱ）若不等式
对任意的正实数
恒成立，求正实数
的取值范围；

（Ⅲ）求证：

教学合作2015届高三年级十月联考试题

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．解析：D 依题意；化简集合
，
，

利用集合的运算可得：
.故选D.

2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C

3．解析：A ①
是偶函数，其图象关于
轴对称；②
是奇函数，其图象关于原点对称；③
是奇函数，其图象关于原点对称．且当
时，
；④
为非奇非偶函数，且当
时，
；当
时，
；故选A.

4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知
，而
，

，所以有
，故选B.

5．解析：D

化简函数得
，所以

易求最大值是2，周期是
，由
，得对称轴方程是

由
，故选D.

6．解析：A 由于函数
是可导函数且为单调递减函数，
分别表示函数在点
处切线的斜率，因为
，
，故
分别表示函数图象上两点
和两点
连线的斜率，由函数图象可知一定有
，四个数中最大的是
，故选
.

7．解析：C 对于①，
，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得
，而
，所以①是一组“等积分”函数；对于②，
，而
，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数
的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故
，而
，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数
分别是定义在
上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分
，所以④是一组“等积分”函数，故选C

8．解析：B 由柯西不等式得,
,

即
,即
的最大值为3，当且仅当
时等号成立；

所以
对任意实数
恒成立等价于
对任意实数
恒成立，又因为
对任意
恒成立，因此有即
，解得
，故选B.

9．解析： B 依题意：画出不等式组
所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为
，由直线
恒过点
，且原点的坐标恒满足
，

当
时，
，此时平面区域
的面积为
，由于
，由此可得
.

由
可得
，依题意应有
，因此
（
，舍去）

故有
，设
，故由
，可化为
，
所以当直线
过点
时，截距
最大，即
取得最小值
，故选B．

10．解析：D

依题意：
，
，因为两曲线
，
有公共点，设为
，所以
，因为
，

所以
，因此

构造函数
，由
，当
时，
即
单调递增；当
时，
即
单调递减，所以
即为实数
的最大值.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.

11．解析：
因为向量
与向量
的夹角为
，所以
在
上的投影为
，问题转化为求
，

因为

故

所以
在