十月联考数学（文科）参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.

【解析】因为图中阴影部分表示的集合为
，由题意可知

，所以

，故选

2.

【解析】依题意得，当
时，
，函数
是减函数，此时
，即有
恒成立，因此命题是真命题，
应是“
”.综上所述，应选

3.

【解析】由
，因为
，所以
，
，所以

.故选

4.

【解析】由题意知
，代入回归直线方程得


，故选

5.

【解析】
，
，
，
，则

，故选

6.

【解析】因为
，则函数
即
图象的对称轴为
，故可排除
；由选项
的图象可知，当
时，
，故函数
在
上单调递增，但图象中函数
在
上不具有单调性，故排除
本题应选

7.

【解析】依题意得
，故
，所以

，

，因此该函数的图象关于直线
对称，不关于点
和点
对称，也不关于直线
对称.故选

8.

【解析】过点作
于点，在
中，易知
，

梯形的面积
,扇形
的面积
，则丹顶鹤生还的概率
，故选

9.

【解析】由
知
，所以
在
上是增函数，所以
，即
，得
，所以不正确；易知
，即
，得
，所以不正确；易知
，即
，得
，所以
不正确；易知
，即
，得
，所以正确.故选

10.

【解析】因为
，依题意，得

则点
所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中
，
，
.

表示点
到点
的距离的平方，因为点到直线
的距离
，观察图形可知，
，又
，所以
，故选

二、填空题：（7题，每题5分）

11. 11

【解析】由
，解得
，故
.

由
，解得
，故
.由
，可得
，因为
，所以整数的最小值为11.

12.

【解析】由于
，则有
，即

，解得
，故实数的取值范围是
.

13.（1）0.0125；（2）72

【解析】

（1）由频率分布直方图知
，解得
.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有
名学生可以申请住宿.

14.

【解析】
，平移后得到函数

，则由题意得
，因为
，所以的最小值为
.

1

【解析】由题意得
，在点
处的切线的斜率

又该切线与直线
垂直，直线
的斜率
，

由
，解得

16.

【解析】若命题为真，则
或
.若命题为真，因为
，所以
.因为对于
，不等式
恒成立，只需满足
，解得
或
.命题“
”为真命题，且“
”为假命题，则
一真一假.

①当真假时，可得
；

②当
时，可得
.

综合①②可得的取值范围是
.

17.

【解析】由
，解得

当
时，
，函数
单调递减；

当
时，
，函数
单调递增.

故该函数的最小值为

因为该函数有零点，所以
，即
，解得

故的取值范围是
.

三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.【解析】

（1）

+2…2分

+2………………4分

=1 ……………………………………………………… 6分

（2）

………………… 7分

…………………8分

从而当
时，即
时

…………………………………… 10分

而当
时，即
时

…………………12分

19.【解析】

（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分

平均数的估计值为：

…………………………6分

（2）从图中可知，体能测试成绩在
的人数为
（人），分别记为
；体能测试成绩在
人数为
（辆），分别记为
，从这
人中随机抽取两人共有
种情况：

，
，
，
，
，
，
，
.……………………9分

抽出的人中体能测试成绩在
的情况有

共6种，………………………………………………………１１分

故所求事件的概率
.…………………………………12分

20.【解析】

（1）∵
，
，∴
，

∴
……………………………………1分

∵
∴
∴
……………………2分

∴
，显然在
附近
符号不同，

∴
是函数
的一个极值点 ………………………………………3分

∴
即为所求 ………………………………………………………4分

（2）∵
，
，∴
，

若函数
在
不单调，

则
应有二不等根 …………………………5分

∴
∴
……………………………7分

∴
或
………………………………… ……………8分

（3）∵
，∴
，

∴
，设切点
，

则
纵坐标
，又
，

∴ 切线的斜率为
，得
……10分

设

，∴

由
0，得
或
，

∴
在
上为增函数，在
上为减函数，

∴ 函数

的极大值点为
，极小值点为
，

∵
∴ 函数

有三个零点 ……………12分

∴ 方程
有三个实根

∴ 过点
可作曲线
三条切线 ……………………………13分

21.【解析】

（Ⅰ）在
中，由正弦定理，得

，

.………………………………7分

（Ⅱ）∵
，∴
，

，

在
中，由正弦定理，得
，

∴
.……………………………………14分

22.【解析】

（Ⅰ）
=1﹣x+lnx，求导得：
，由
，得
.

当
时，
；

当
时，
.

所以，函数
在
上是增函数，在
上是减函数.…………5分

(Ⅱ) 令

则

因为
，所以
，由
得

当
时，
，
在
上是增函数；

当
时，
，
在
上是减函数.

所以，
在
上的最大值为
，解得

所以当
时
恒成立. ………………………10分

（Ⅲ）由题意知，
.

由（Ⅰ）知
，即有不等式
.

于是

即
………14分