教学合作2015届高三年级十月联考试题

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．解析：D 依题意；化简集合
，
，

利用集合的运算可得：
.故选D.

2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C

3．解析：A ①
是偶函数，其图象关于轴对称；②
是奇函数，其图象关于原点对称；③
是奇函数，其图象关于原点对称。且当
时，
；④
为非奇非偶函数，且当
时，
；当
时，
；故选A.

4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知
，而
，

，所以有
，故选B.

5．解析：D

化简函数得
，所以

易求最大值是2，周期是，由
，得对称轴方程是

由
，故选D.

6．解析：A 由于函数
是可导函数且为单调递减函数，
分别表示函数在点
处切线的斜率，因为
，
，故
分别表示函数图象上两点
和两点
连线的斜率，由函数图象可知一定有
，四个数中最大的是，故选.

7．解析：C 对于①，
，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得
，而
，所以①是一组“等积分”函数；对于②，
，而
，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数
的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故
，而
，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数
分别是定义在
上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分
，所以④是一组“等积分”函数，故选C

8．解析：B 由柯西不等式得,
,

即
,即
的最大值为3，当且仅当
时等号成立；

所以
对任意实数
恒成立等价于
对任意实数恒成立，又因为
对任意恒成立，因此有即
，解得
，故选B.

9．解析： B 依题意：画出不等式组
所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为
，由直线
恒过点
，且原点的坐标恒满足
，

当
时，
，此时平面区域的面积为
，由于
，由此可得
.

由
可得
，依题意应有
，因此
（
，舍去）

故有
，设
，故由
，可化为
，
所以当直线
过点时，截距
最大，即取得最小值
，故选B。

10．解析：D

依题意：
，
，因为两曲线
，
有公共点，设为
，所以
，因为
，

所以
，因此

构造函数
，由
，当
时，
即
单调递增；当
时，
即
单调递减，所以
即为实数
的最大值.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.

11．解析：
因为向量
与向量
的夹角为
，所以
在
上的投影为
，问题转化为求
，

因为

故

所以
在
上的投影为
.

12．解析：
依题意：偶函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，直接构造函数
，问题转化为解不等式
，解之得：
，

所以不等式
的解集为
.

另解：依题意：偶函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，

由于
，即

所以不等式
的解集为
.

13．解析：

如图，
点在
上的射影是点
，它们分别为
的中点，由数量积的几何意义，可得
，

依题意有

，即
，

同理
，即

综上，将两式相加可得：
，即

14．解析：
(2分)
（3分） 注意到
和
，

易求得
；

因为
，所以

故有

15．解析：

曲线即直线的普通方程为
，又曲线
即圆心为
，半径为2的半圆，其方程为
，注意到
，所以
，联立方程组得
，解之得
，故交点的坐标为
.过交点且与曲线
相切的直线的普通方程是
，对应的极坐标方程为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

解析：

（1）因为集合
，因为

函数
，由
，

可得集合
…………2分

， …………………………………………4分

故
. ……………………………6分

（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即

由
，而集合应满足
，

因为

故
， ……………………8分

依题意就有：

， ………………………………………10分

即
或

所以实数的取值范围是
. …………………12分

17．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）依题意：
，因为

所以
，化简得：

，

故有
. …………………6分

（Ⅱ）依题意，在
中，由正弦定理
，所以
，

由余弦定理可得：
，

化简得：
，解得：
（负值舍去）.…………12分

18．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由图象可知：

直线
的方程是：
，直线
的方程是：

当
时，
，所以

. …………………………………2分

当
时，
； ………………………3分

当
时，
…………………4分

当
时，

…………5分

综上可知随变化的规律是

………………………………………7分

（Ⅱ）
，

， …………………………………………8分

,
…………………………9分

当
时，令
，解得
，（
舍去）…………………………11分

即在台风发生后30小时后将侵袭到
城. ……………………12分

19．（本小题满分12分）

解析：

（Ⅰ）依题意

……………………2分

因为早上
时的温度为
，即
，

……………………3分

，故取
，
，

所求函数解析式为

. …………………………………5分

由
，
，可知
，

即这一天在
时也就是下午时出现最高温度，最高温度是
.…………7分

（Ⅱ）依题意：令
，可得

……………………………9分

，
或
，

即
或
，………………11分

故中央空调应在上午
时开启，下午
时（即下午
时）关闭…………12分

20．（本小题满分13分）

解析：（Ⅰ）
，

则
， ……………………1分

令
，得
或
，而二次函数
在
处有极大值，

∴
或
；

综上：
或
． ………………………4分

当
时，
的单调增区间是
，减区间是
……5分

当
时，
的单调增区间是
，减区间是
； ………………6分

（Ⅱ）

， …………8分

，

当
时，
，
无解，故原方程的解为
，满足题意，即原方程有一解，
； …………………9分

当
时，
，
的解为
，故原方程有两解，
；

当
时，
，
的解为
，故原方程有一解，
；

当