一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知
是虚数单位，则在复平面中复数
对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设随机变量
服从正态分布
，若
，则

A.
B.
C.
D.

4.设
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知两个不同的平面
和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：

①若
； ②若
；

③若
； ④若
.

其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

6.要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A.向左平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D.向右平移
个单位长度

7. 已知双曲线
的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为

A.360 B.520 C.600 D.720

9.设函数
若
，则关于的方程
的解的个数为

A.4 B.3 C.2 D.1

10.已知向量
的夹角为

时取得最小值，当
时，夹角
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..

11.若
对任意的
恒成立，则实数k的取值范围为_________.

12.如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.

13.已知圆C过点
，且圆心在轴的负半轴上，直线
被该圆所截得的弦长为
，则圆C的标准方程为________________.］

14.定义：
，在区域
内任取一点
的概率为__________.

15.已知
恒成立，则实数m的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，且
..

（I）求
的值；

（II）若
面积的最大值.

17.（本小题满分12分）

如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
平面ABCD，
平面ABCD，且

（I）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；

（II）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
，且各轮问题能否正确回答互不影响。

（I）求该同学被淘汰的概率；

（II）该同学在选拔中回答问题的个数记为
，求随机变量
的分布列与数学期望.

19.（本小题满分12分）

设数列
的各项都是正数，且对任意
，都有
，其中
为数列.
的前n项和.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
（
为非零整数，
），试确定
的值，使得对任意
；都有
成立.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
过点
，且长轴长等于4.

（I）求椭圆C的方程；

（II）
是椭圆C的两个焦点，
O是以
为直径的圆，直线
O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若
，求k的值.

21.（本小题满分14分）

已知函数
的切线方程为
.

（I）求函数
的解析式；

（II）设
，求证：
上恒成立；

（III）已知
.

2012级高三一模数学（理）参考答案及评分标准

（Ⅱ）∵b=2 ，∴由
可知，
，

即
，∴
，……………………8分

∵
，∴
………………10分

∴
.

∴△ABC面积的最大值为
．…………………………12分

（Ⅰ）当
时，有
//平面AMD.

证明：∵MD平面ABCD，NB平面ABCD，∴MD//NB，…………2分

∴
，又
，∴
，…………4分

∴在
中，OP//AM，

又
面AMD，AM面AMD，∴
// 面AMD.…………６分

（Ⅱ）解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），∴
=（0,-2,2），
=（2,0,1），
=（0,2,0），………………7分

设平面CMN的法向量为
=（x,y,z）则
，∴
，

∴
=（1,-2,-2）.………………9分

又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为
=
=（0,2,0），………………11分

设所求锐二面角为
，则
.………………12分

∴
……………………１２分

19、解：（Ⅰ）∵
时，
，……………①

当
时，
，………………②………………2分

由①－②得，

即
，∵
　　∴
，………………4分

由已知得，当
时，
，∴
.………………５分

故数列
是首项为1，公差为1的等差数列.∴
. …………６分

（Ⅱ）∵
，∴
,…………7分

∴

.

要使得
恒成立,只须
. …………８分

(1)当为奇数时,即
恒成立.又
的最小值为,∴
. ……9分

(2)当为偶数时,即
恒成立.又
的最大值为
,∴
…１０分

∴由(1),(2)得
,又
且
为整数,……………………１１分

∴
对所有的
,都有
成立. ………………１２分

…………10分

∴
………………11分

∵
，∴
.………………１2分

∵
，∴
，
，得k的值为
.…………13分

解：（Ⅰ）将
代入切线方程得
， ∴
，…………２分

化简得
.
，……………４分
，

解得：
.∴
. …………６分

（Ⅱ）由已知得
在
上恒成立，

化简
，即
在
上恒成立.…………７分

设
，
， …………８分

∵
∴
，即
，…………９分

∴
在
上单调递增，
，∴
在
上恒成立 .…………１０分

（Ⅲ）∵
， ∴
，由（Ⅱ）知有
， ……12分

整理得
，∴当
时，
. …………14分