第I卷（共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）

1.设i是虚数单位，复数
是纯虚数，则实数

A.
B.2 C.
D.

2.已知集合
，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

3.已知函数
，则“
是奇函数”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知等比数列
的前三项依次为

A.
B.
C.
D.

5.右图给出的是计算
的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是

A.
B.

C.
D.

6.函数
的零点所在的区间为

A.
B.
C.
D.

7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为

A.
B.
C.
D. 以上全错

8.已知双曲线
的离心率为2，若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为

A.
B.
C.
D.

9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足
(
)
，则P点轨迹一定通过三角形ABC的

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

10.已知函数
对任意
，都有
的图像关于
对称，且
则

A.0 B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题包括5小题，共25分）

11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为________

12.在二项式
的展开式中，含
的项的系数是________

13.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为_______.

14.若点P在直线
上，过点P的直线
与曲线
只有一个公共点M，则
的最小值为_________.

15.已知
满足约束条件
若目标函数
的最大值为7，则
的最小值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.（本小题满分12分）已知向量
，函数
的最小正周期为.

（I）求函数
的单调增区间；

（II）如果△ABC的三边
所对的角分别为A、B、C，且满足
的值.

17.（本小题满分12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
，乙投篮命中的概率为
.

（I）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

（II）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得
分，求乙所得分数的概率分布和数学期望.

18.（本小题满分12分）如图，在多面体
中，四边形
是正方形，AC=AB=1，
.

（I）求证：
；

（II）求二面角
的余弦值的大小.

19.（本小题满分12分）设数列
为等差数列，且
；数列
的前n项和为
.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若
为数学
的前n项和，求
.

20.（本小题满分13分）已知椭圆
，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点
的直线l交椭圆于A，B两点，交直线
于点E，
判断
是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

21.（本小题满分14分）已知函数
，其中
.

（I）当
时，求曲线
在原点处的切线方程；

（II）求
的单调区间；

（III）若
上存在最大值和最小值，求的取值范围.

山东省实验中学2012级第一次诊断性考试

理科数学参考答案

16.（I）

………………………3分

∵
的最小正周期为，且＞0。

∴
∴
……………………………………………………4分

∴

由
≤
≤
…………………………5分

得
的增区间为
………………6分

（II）由
∴

又由

…………………………8分

∴在
中，
………………………………………………………9分

∴

………………………………12分

17.解：（Ⅰ）设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：
…………………………2分

……………………………4分

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：

…………………………………………6分

（Ⅱ）η=－4，0，4，8，12，分布列如下：

η

－4

0

4

8

12



P













 …………………………………………………………11分

……………………12分

面
，
面

面
………………………………………………………………4分

，面
面

面
，
面
………………………………………6分

（Ⅱ）四边形
为正方形,
,

，

由勾股定理可得：
，
，

，
面
，

，

设面
的法向量为
，则

则
，令
，则
……………………10分

所以

设二面角
的平面角为，

所以
………………………………………………12分

19. 解(1)数列
为等差数列,所以
又因为
……………………………………2分

由

n=1时，

时，

所以
……………………………4分

为公比的等比数列

………………………………………………6分

（2）由（1）知，
……………………7分

……………9分

+

=

=1-4+
………………………11分

………………12分

20. （1）由条件得
，所以方程
……4分

（2）易知直线l斜率存在，令

由
……5分

………………6分

由

得
…………………7分

由

得
……………8分

将
代入

有
…………13分

② 当
时，令
，得
，
，
与
的情况如下：





























↘



↗



↘





故
的单调减区间是
，
；单调增区间是
． ……7分

③ 当
时，
与
的情况如下：





























↗



↘



↗





所以
的单调增区间是
，
；单调减区间是
………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，
时不合题意． ……………10分

当
时，由（Ⅱ）得，
在
单调递增，在
单调递减，所以
在
上存在最大值
．