选择题(每小题5分，共50分）

1.已知
为纯虚数，则的值为( )

A．1 B．－1 C．
D．

2.
,若
,则的值等于( )

A．
B．
C．
D．

3．
等于( )

A．1 B．
C． D．

设函数
在上可导,其导函数
,且函数
在
处取得极小值,则函数

的图象可能是 ( )

5．3位老师和3位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总

数为 ( )

A．720　　　 B．144

C．36　　　 D．12

6．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为
，下列判断正确的是 （ ）

A．劳动生产率为1000元时，工资为150元

B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元

C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元

D．劳动生产率为1000元时，工资为90元

7.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

8.若
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

9.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸

烟的人中必有99人患有肺病;

B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他

有99%的可能患有肺病;

C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判

出现错误;

D.以上三种说法都不正确.

10.设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则

P(ξ＝3)等于(　　)

A．C32()2×() B．C32()2×()

C．()2×() D．()2×()

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有________种．

12.函数
在（1，1）处的切线方程是________.

13.设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2



P









 则P (1≤X≤3)＝________.

14．已知连续型随机变量x的分布函数为：

则
_____________．

15.若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.

三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（12分）某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机测量了20人，得到如下数据

身高（厘米）

192

164

172

177

176

159

171

166

182

166



脚长（码）

48

38

40

43

44

37

40

39

46

39



身高（厘米）

169

178

167

174

168

179

165

170

162

170



脚长（码）

43

41

40

43

40

44

38

42

39

41



（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的2×2列联表。

（2）根据（1）中的2×2列联表，若按99%可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系。

高个

非高个

合计



大脚









非大脚



12





合计





20





17.(12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)至少有1名女运动员；

(2)既要有队长，又要有女运动员．

18.（12分）已知n(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

19. （12分）(2011·皖南八校联考)某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动对18～48岁的人群随机抽取n人回答问题“沿江城市带包括哪几个城市”，统计数据结果如下表：

组数

分组

回答正确的人数

占本组的频率



第1组

[18,28)

240

x



第2组

[28,38)

300

0.6



第3组

[38,48]

a

0.4



(1)分别求出n，a，x的值；

(2)若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率，规定年龄在[38,48]内回答正确的得奖金200元，年龄在[18,28)内回答正确的得奖金100元．主持人随机请一家庭的两个成员(父亲46岁，孩子21岁)回答问题，求该家庭获得奖金ξ的分布列及数学期望(两个回答问题正确与否相互独立)．

(13分) 已知数列
的前项和
，

(1) 计算数列的前4项；

(2) 猜想
并运用数学归纳法证明．

21. (13分) 已知函数
,
R.

(Ⅰ)若
,求曲线
在点
处的切线方程;

(Ⅱ)若对任意的
,都有
恒成立,求实数的取值范围.

(注:为自然对数的底数.)

理科数学参考答案

（2）假设
成立：脚的大小与身高之间没有关系

K2的观测值

∵
，又8.802 6.635

∴我们有99%把握认为脚的大小与身高之间有关系．

（本题12分）

(1)解法一　(直接法)

“至少1名女运动员”包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类加法计数原理可得有

C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．

解法二　(间接法)

“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．

从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．

所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246种选法．

(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法．不选女队长时，必选男队

长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共

有C－C种选法．

所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191种选法

（本题12分）

　由题意知，第五项系数为C·(－2)4，

第三项的系数为C·(－2)2，

则有＝，

化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.

(2)通项公式Tk＋1＝C·()8－k·k＝C·(－2)k·x－2k，

令－2k＝，则k＝1，

故展开式中含x的项为T2＝－16x.

(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为

C·2k－1，C·2k，C·2k＋1，

若第k＋1项的系数绝对值最大，则

，解得5≤k≤6.

又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x－11.

由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120x－6.

19. （本题13分）

(1)由频率表中第2组数据可知，第2组总人数为＝500，再结合频率分布直方图可知

n ＝＝1000，所以a＝1000×0.02×10×0.4＝80，

x＝＝0.8.

(2)由题意知ξ可能的取值为0,100,200,300，父亲回答正确的概率为0.4，孩子回答正确的概率为0.8，且P(ξ＝0)＝0.6×0.2＝0.12，P(ξ＝100)＝0.6×0.8＝0.48，P(ξ＝200)＝0.4×0.2＝0.08，P(ξ＝300)＝0.4×0.8＝0.32，

所以该家庭获得奖金ξ的分布列为

ξ

0

100

200

300



P

0.12

0.48

0.08

0.32



故Eξ＝0×0.12＋100×0.48＋200×0.08＋300×0.32＝160.

（本题13分）

解：（1）由
，
，

由
，得
．

由
，得
．

由
，得
．

(2) 猜想
．

下面用数学归纳法证明猜想正确：

（1）
时，左边
，右边
，猜想成立．

（2）假设当
时，猜想成立，就是
，此时
．

则当
时，由
，

得
，

．

这就是说，当
时，等式也成立．

由（1）（2）可知，
对
均成立．

21.（本题13分） 解:(Ⅰ) 当
时,
,则

故
,

所以曲线
在点
处的切线方程为
即为
;

(Ⅱ)由题,

令
,注意
的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有

(1)
,
单调递增,

所以有
得
;

(2)当
即
时,
单调递减,

所以有
得
,故只有
符合;

(3)当
即
时,记函数
的零点为
,

此时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,

所以,

因为
是函数
的零点,所以
,

故有

令
,
,则

所以函数
在
上单调递减,故
恒成立,

此时,
;

综上所述,实数的取值范围是