第I卷（共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）

1.设i是虚数单位，复数
是纯虚数，则实数

A.
B.2 C.
D.

2.已知集合
，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

3.已知函数
，则“
是奇函数”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知等比数列
的前三项依次为

A.
B.
C.
D.

5.右图给出的是计算
的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是

A.
B.

C.
D.

6.函数
的零点所在的区间为

A.
B.
C.
D.

7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为

A.
B.

C.
D. 以上全错

8.已知双曲线
的离心率为2，若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为

A.
B.
C.
D.

9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足
(
)
，则P点轨迹一定通过三角形ABC的

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

10.已知函数
对任意
，都有
的图像关于
对称，且
则

A.0 B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题包括5小题，共25分）

11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为________

12.已知函数
若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
________

13.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为_______.

14.若点P在直线
上，过点P的直线
与曲线
只有一个公共点M，则
的最小值为_________.

15.已知
满足约束条件
若目标函数
的最大值为7，则
的最小值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.（本小题满分12分）已知向量
，函数
的最小正周期为.

（I）求函数
的单调增区间；

（II）如果△ABC的三边
所对的角分别为A、B、C，且满足
的值.

17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）

(I) 求x、y;

(II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率。

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，
，Q为AD的中点..

（I）若PA=PD，求证：平面
平面PAD；

（II）若平面
平面ABCD，且
，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P-QBM的体积.

19.（本小题满分12分）设数列
为等差数列，且
；数列
的前n项和为
.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若
为数列
的前n项和，求
.

20.（本小题满分13分）已知椭圆
，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点
的直线l交椭圆于A，B两点，交直线
于点E，
判断
是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

21.（本小题满分14分）已知函数
.

（I）当
时，求函数
图象在点
处的切线方程；

（II）当
时，讨论函数
的单调性；

（III）是否存在实数，对任意的
恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

山东省实验中学2012级第一次诊断性考试

（II）由
∴

又由

…………………………8分

∴在
中，
………………………………………………………9分

∴

………………………………12分

17.

解：（I）由题意可得，
，所以
…………………………4分

（II）记从高校B抽取的2人为
，从高校C抽取的3人为
，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有

共10种．……………8分

设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有
，
，
共3种……………10分

所以

故选中的2人都来自高校C的概率为
………………………………………12分

（II）平面
平面
,平面
平面
,

平面
，
平面
,

,又
,
,
平面
,又
，

---------------------------12分

19. 解(1)数列
为等差数列,所以
又因为
……………………………………2分

由

n=1时，

时，

所以
……………………………4分

为公比的等比数列

………………………………………………6分

20. （1）由条件得
，所以方程
……4分

（2）易知直线l斜率存在，令

由
……5分

………………6分

由

得
…………………7分

由

得
……………8分

将
代入

有
…………13分

③当－a>2，即a<－2时，∵0－a时，f′(x)>0；

2

(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1

由
知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，

令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，

则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴g′(x)＝x－－2≥0，

即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．

∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，

其范围为. …………14分