河南省实验中学2014届高三二测模拟卷

数学（理科）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、已知i为虚数单位，则复数
等于（ ）

A．-1－i 　　B．-1+i 　　C．1+i 　　　　D．1—i

2、已知是实数集，集合
,
,

则
( )

A.
B.
C.
D.

3、已知
，
，则
（ ）

A.
B.
或
C.
D.

4、二项式
的展开式中常数项是（ ）

A．28 B．-7 C．7 D．-28

5、已知实数
，执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年

级的乘坐方式共有（ 　）

A．24种 B．18种 C．48种 D．36种

7、已知某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的表面积等于（ ）

A.
B.160 C.
D.

8、函数
的部分图象为

9、在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=
,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A．　 B.
　 C. 4　 D.

10、在
中，
分别是角
所对边的边长，若
则
的值是（　　）

A．1 B．
C．
D．2

11、已知函数
的周期为4，且当
时，

其中
．若方程
恰有5个实数解，则的取值范围为 ( )

A．
B．
C．
D．

12、抛物线
（＞
）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为 ( )

A.
B. 1 C.
D. 2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13、由一条曲线
与直线
以及轴所围成的曲边梯形的面积是______。

14、已知
，直线
交圆
于
两点，则
．

15、不等式组
表示的平面区域为，若对数函数
上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.

16、已知
为定义在(0，+∞)上的可导函数，且
，则不等式
的解集为___________．

解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）

17、（本小题满分12分）已知数列
中，

（1）求证：
是等比数列，并求
的通项公式
；

（2）数列
满足
，数列
的前n项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.

18、某企业招聘工作人员，设置、、
三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为
，丙、丁两人各自通过测试的概率均为
．戊参加
组测试，
组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.

（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；

（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；

（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为
，求
的分布列和期望.

19、如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
∥
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若
为棱
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）若二面角
大小为30°，求
的长 ．

20、已知椭圆
过点
,离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
（
）的直线
与椭圆
相交于
两点，直线
、
分别交直线
于
、
两点,线段
的中点为.记直线
的斜率为
，求证:
为定值.

21、已知函数
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

（3）若在
（
）上存在一点
，使得

成立，求的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22、选修4-1:几何证明选讲.

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB=
AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2，
=30.

(1)求AF的长.

(2)求证：AD=3ED.

23、选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线
,已知过点
的直线
的参数方程为：
，直线
与曲线
分别交于
两点.

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求的值．

24、 选修4-5：不等式选讲

设

（1）当
时，
求的取值范围；

（2）若对任意x∈R，
恒成立，求实数的最小值．

选择题

ADCCA ACADB BA

填空题

，
,
,

解答题

17、
得

。。。。。。。3分

是以
为首项，3为公比的等比数列。。。。。5分

。。。。。。。。。。。。7分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

若n 为偶数时，

若n为奇数时

。。。。。。。。12分

18、解： (I) 设戊竞聘成功为A事件，则

…………3分

（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件

…………6分

（Ⅲ）
可取0，1，2，3，4

0

1

2

3

4



P














…………12分

19、（Ⅰ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ． ……………………1分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………2分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………3分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………4分

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD． …………5分

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则
，
，
，
，

∵M是PC中点，∴
…………6分

∴

设异面直线AP与BM所成角为

则

=
…………7分

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为
…………8分，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为
…………9分

由
，且
，得
……10分

又
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………11分

∵二面角M-BQ-C为30°， ∴
，

∴
．∴

……………12分

20

21、解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，



1







—

0

+







极小







所以
在
处取得极小值1.

（Ⅱ）
，

①当
时，即
时，在
上
，在
上
，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增；

②当
，即
时，在