2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三）

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

l.已知复数
，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知集合
，则集合
中元素的个数为

A．无数个 B 3 C. 4 D.5

3.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，

那么输出的a值为

A. 4 B. 16 C 256 D.65536

4.设非零向量
，满足
，
与
的夹角为

A. 60
B．90
C．120
D 150

5.已知正方形ABCD，其中顶点A、C坐标分别是 (2，0)、(2，4)，点P(x，y)在正方形内部（包括边界）上运动，则Z=2x+y的最大值是

A．10 B. 8 C.12 D.6

6.设函数
，且其图像相邻的两条对称轴为
，则

A．
的最小正周期为
，且在
上为增函数

B．
的最小正周期为，且在
上为减函数

C.
的最小正周期为,且在
上为增函数

D .
的最小正周期为，且在
上为减函数

7．函数
的图像为

8.下列命题正确的个数是

①命题“
”的否定是“
”：

②函数
的最小正周期为“”是“a=1”的必要不充分条件；

③
在
上恒成立

在
上恒成立；

④“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”

A．1 B. 2 C. 3 D．4

9.设双曲线
，离心率
，右焦点
。方程

的两个实数根分别为
，则点
与圆
的位置关系

A．在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定

10.点A，B，C，D在同一个球面上,
，AC=2，若球的表面积为
，则四面体ABCD体积最大值为

A．
B．
C.
D．2

11.已知ABC外接圆O的半径为1，且
，从圆O内随机取一个

点M，若点M取自△ABC内的概率恰为
，则ABC的形状为

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

12.定义在
上的函数
满足下列两个条件：（1）对任意的
恒有
成立；（2）当
时，
．记函数

，若函数
恰有两个零点，则实数的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置。

13.设a为实数，函数
的导函数为

，且
是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切

线方程是________．

14.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．

15.若在由正整数构成的无穷数列
中，对任意的正整数，都有
，且对任意的正整数
，该数列中恰有
个
，则
= .

16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知

是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当
，则这?一对相

关曲线中椭圆的离心率是________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）“

等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项，若

(1)求数列
的通项公式；

(2)若数列
满足
，求数列
的前n项和

18.（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取
名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成
，
，
，
，
，
六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.

（Ⅰ）求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方

形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF=3，G

积H分别是CE和CF的中点、

(1)求证：AF//平面BDGH:

(2)求

20.（本小题满分12分）

平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连级的斜率之积等于
，若点P的轨迹为曲线E，过点
直线
交曲线E于M，N两点-

(1)求曲线E的方程，并证明： MAN是一定值； (2)若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值

21.（本小题满分12分）

已知函数
的定义域是
，
是
的导函数，且
在
上恒成立

(1)求函数
的单调区间。

(2)若函数
，求实数a的取值范围

(3)设
是
的零点，
，求证：
．

【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为

的边
，
上的点，且不与
的顶点重合。已知
的长为m，
的长为n，AD,
的长是关于的方程
的两个根。

（Ⅰ）证明：
，，，四点共圆；

（Ⅱ）若
，且
，求
，，，所在圆的半径。

23（本小题满分10分）选修4.4坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位

已知直线
的参数方程为
（t为参数，
），曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程。

(2)设直线
与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求
的最小值

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集是

(1)求a的值;

(2)若
存在实数解，求实数
的取值范围。

2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三）

文科数学答案

一、选择题.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

C

A

A

D

D

B

A

C

B

D



 二、填空题. 13.
14.
15.45 16.

17.解：（1）由
解得：

………………………………………………………………（6分）

（2）
………………………………………………………（8分）

……（12分）

18.解：（Ⅰ）
………………………………2分

（Ⅱ）
………………………………6分

（Ⅲ）第1组：
人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组：
人（设为A，B，C）

共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为
…………12分

19. 解：（1） 证明：设
，连接
，

在
中，因为
，
，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………………………………………（6分）

（2）解：因为四边形
是正方形，

所以
.

又因为平面
平面
，平面
平面
，

且
平面
，

所以
平面
. 得
平面
………………………………………（8分）

则H到平面
的距离为CO的一半

又因为
，三角形
的面积
，

所以
………………………………………………（12分）

20. 解：（1）设动点P坐标为
，当
时，由条件得：

，化简得

曲线E的方程为，
,………………4分

（说明：不写
的扣1分）

由题可设直线
的方程为
,联立方程组可得

,化简得:

设
,则
，………（6分）

又
,则

,

所以
,所以
的大小为定值 …………………………（8分）

(Ⅱ)

令


设

在
上单调递减.

由
，得K=0，此时
有最大值16…………………（12分）

21. 解：（1）
因为
在
上恒成立

所以
在
上恒成立，所以
的单增区间是
，无单减区间…（3分）

（2）
， 因为
在
上恒成立

所以
在
上恒成立

即
在
上恒成立………………………………………（4分）

设
则

令
得
，当
时，
；当
时，

故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，

所以
，所以
.…………………………………（8分）

（3）因为
是
的零点，所以
由（1）知，
在
上单调递增，

所以当
时，
，即

所以当
时，

因为
，所以
，且

即

所以

所以
…………………………………………………………………（12分）

22. 解析：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC

即
,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB

因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4,n=6,方程
的两根为2,12.即AD=2，AB=12

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900

故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为5
.

23.解:(I)由
,得

所以曲线C的直角坐标方程为
…………………………（4分）

(II)将直线l的参数方程代入
,得

设A、B两点对应的参数分别为