天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）

2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)

数学(理科)·答案

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

C

B

C

D

B

C

B

C

A

C



二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.

（13） （14）
或

（15）
（16）

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得

又
，

所以
，…………………………………………（2分）

即
，

所以
， 即
，又
，

所以
.………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由
得
，又
，所以
.……………………（8分）

由

，可得
，

所以
，即
，所以
.…………………………………………（12分）

（18）解：（Ⅰ）由
，得
，因为
，所以
，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率
………………………………………………（4分）

（Ⅱ）记分期付款的期数为
,依题意得
，
，
，
，
，…………………………………（6分）

因为
的可能取值为
,并且
，

，

.…………………………………（10分）

所以
的分布列为





















所以
的数学期望为
（万元）.…………（12分）

（19）解：（Ⅰ）当
是
的中点时，
.因为
平面
，所以
平面
，所以
.又
，所以、两点重合.

所以
.……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）解法一：连接
、
交于点
，以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

……………………………（6分）

设平面
的一个法向量为
则

令
，得

………………………………………………………（8分）

设直线
与平面
所成的角为
，则

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.……………………………………（12分）

解法二：设直线
与平面
所成的角为.因为
，

所以
，所以
.………………………………………（6分）

由余弦定理，得
,故
.

因为
，易得
，
，……………………（8分）

所以点到平面
的距离
，故
，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.…………………………………（12分）

（20）解：（Ⅰ）因为点
在圆
内，所以圆
内切于圆
.

因为

，所以点
的轨迹为椭圆，且
,所以
，所以轨迹的方程为
.…………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）（i）当
为长轴（或短轴）时，依题意知，点
就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），

此时

.…………………………………………………………（5分）

（ii）当直线
的斜率存在且不为
时，设其斜率为
，直线
的方程为
，

联立方程
得

所以


.………………………………………………………（7分）

由
知，
为等腰三角形，
为
的中点，
，所以直线
的方程为
，由
解得



，

…………………………………………………………………………………………………（9分）

，

由于
，所以
，…………（11分）

当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积的最小值是
.因为
，所以
面积的最小值为
，此时直线
的方程为
或
.

………………………………………………………………………………………………（12分）

（21）解：(Ⅰ) 函数
的定义域为
，

．

当
时，
，
在
上为增函数，
没有极值；……………（2分）

当
时，
，若
，则
；若
，则
,

存在极大值，且当
时，
.……………（4分）

综上可知：当
时，
没有极值；

当
时，
存在极大值，且当
时，
.

…………………………………………………………………………………………………（5分）

(Ⅱ)函数
的导函数
，
.
，

.…………………………………………………………………………………（6分）

当
时，
，令
，则
，

，且
在
上为增函数，

设
的根为
，则
，即
，

当
时，
，
在
上为减函数；

当
时，
，
在
上为增函数，……………………………（9分）

.……………………………（10分）

，
，
，

由于函数
在
上为增函数，

∴
，

∴
.…………………………………………………………………………（12分）

（22）证明：（Ⅰ） 因为
是圆
的直径，
是圆
的切线，所以
.又因为
，所以
，可知
，
，所以
，所以
.

因为
是
的中点，所以
，所以是
的中点，
. …………（5分）

（Ⅱ）如图，连接
，因为
是圆
的直径，所以
．

在
中，由（Ⅰ）知是斜边
的中点，

所以
，所以
.

又因为
，所以
．

因为
是圆
的切线，所以
.

因为
，

所以
是圆
的切线.……………………………………………………………………（10分）

（23）解：（Ⅰ）直线
的参数方程为
为参数
.………………………（2分）

因为
，所以
，所以曲线
的直角坐标方程为
.

…………………………………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）将
代入
中，得
，则

有
………………………………………………………（6分）

所以
.又
，所以
，

，………（8分）

由
得
，所以
.………（10分）

（24）解：（Ⅰ）当
时,原不等式化为
, 得
；

当
时,原不等式化为
,得
；

当
时，原不等式化为
,得
，

综上，
或
.………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）当
即
时,
成立，

当
即
时,
，得
或
,

所以
或
,得
.

综上，的取值范围为
.…………………………………………………………（10分）