2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）

理科数学

一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知复数
，则它的共轭复数等于( )

A．
B．
C．
D．

2．命题“
”的否定是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知
是两个不同的平面，下列四个条件中能推出
的是（ ）

①存在一条直线
； ③存在两条平行直线
；

②存在一个平面
； ④存在两条异面直线
.

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

4．已知平面向量
的夹角为
且
，在
中，
，
，为
中点，则
( )

A.2 B.4 C.6 D.8

5．已知sinα＋cosα＝，则tanα＝( )

A． B． C．－  D．－

6．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是 （ ）

A．
 B.


C．
 D.


7．某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和
的线段，则
的最大值为（ ）

A.
　 B.
C. D.

8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 ( )

A．18 B．15 C．12 D．9

9．设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使
=
,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

10．已知实数
满足
，则
的最大值为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

11．已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知任何一个三次函数
都有对称中心
,记函数
的导函数为
,
的导函数为
，则有
=0.若函数
，则

A. 4027 B. -4027 C.8054 D. -8054

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13．能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和谐函数”,①
②
③

④
.上述函数不是圆
的“和谐函数”的是 （将正确序号填写在横线上）

14.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，(ABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体积为_________________.

15. 已知向量序列：
满足如下条件：
，
且
（
）.则
中第_____项最小.

定义一个对应法则
．现有点
与
，点是线段
上一动点，按定义的对应法则
．当点
在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点
所经过的路线长度为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17. （本小题满分12分）若
的图像与直线
相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.

(1)求和的值；

(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若
是函数
图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC周长的取值范围.

18．（本小题满分12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：

甲公司某员工A



乙公司某员工B



3

9

6

5

8

3

3

2

3

4

6

6

6

7

7















0

1

4

4

2

2

2







每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：

甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为
（单位：元），求
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

19. （本小题满分12分）（如图1）在平面四边形
中，为
中点，
，
，且
，现沿
折起使
，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线
与直线
所成角为
？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）

已知抛物线
上的一点（m，1）到焦点的距离为
.点
是抛物线上任意一点（除去顶点），过点
与的直线和抛物线交于点
，过点
与的直线和抛物线交于点
.分别以点
，
为切点的抛物线的切线交于点P′.

（I）求抛物线的方程；

（II）求证：点P′在y轴上.

21．（本小题满分12分）

对于函数
，若
时，恒有
＞
成立，则称函数
是D上

的J函数．

（Ⅰ）当函数
是定义域上的J函数时，求m的取值范围；

（Ⅱ）若函数
为（0，＋∞）上的J函数，

试比较
与
的大小；

求证：对于任意大于1的实数
均有
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分） 如图，圆O1与圆O2相交于A，B 两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证： （1）PA?PD=PE?PC； （2）AD=AE．

23．（本小题满分
分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．

已知曲线的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点在曲线
上，点
，当点在曲线
上运动时，求
中点的轨迹方程．

24．（本小题满分
分）选修4─5：不等式证明选讲．

已知函数
．

（1）求

的解集；

（2）设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）

理科数学答案

选择题：

1-5 CB CAA 6-10D A DAD 11. B12. D

二、填空题 13. ③ 14.
15. 3 16.

18、解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分

（Ⅱ）设为乙公司员工B投递件数，则

当=34时， =136元，当>35时，
元，

的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分

{说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}

的分布列为：

136

147

154

189

203

















--------------------------------------9分

{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

--------------------------------------11分

（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------12分

19.
以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为
，

20．解：（Ⅰ）由题意得
，

所以抛物线的方程为
…………4分

（II）设
， 因为

则以点
为切点的抛物线的切线方程为

又
，所以
……………6分

同理可得以点
为切点的抛物线的切线方程为

由
解得
………………………………………8分

又过点
与
的直线的斜率为

所以直线
的方程为

由
得
所以
，即
……10分

同理可得直线
的方程为

由
得
所以
，即

则
，即P′得横坐标为0，

所以点P′在y轴上………………………………………………12分

21解：（Ⅰ）由
，可得
，

因为函数
是
函数，所以
，即
，

因为
，所以
，即的取值范围为
.……………………………3分

（Ⅱ）①构造函数
，

则
，可得
为
上的增函数，

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
.…………………6分

②因为
，所以
，

由①可知
，

所以
，整理得
，

同理可得
，…，
.

把上面个不等式同向累加可得
.……………………12分

（1）

①……………………2分

②……………………4分

由 ①②得
……………………5分

(2)连接AC,DE.
，

.

由（1）知，
……………………8分

AB是圆
的直径 弧AD=弧AE
.……………10分

23. 【解析】（1）将
代入
，得
的参数方程为

∴曲线
的普通方程为
． ………5分

（2）设
，
，又
，且
中点为

所以有：

又点在曲线
上，∴代入
的普通方程
得

∴动点的轨迹方程为
． ………10分

24.【解析】（1）

∴
即

∴
① 或
② 或
③

解得不等式①：
；②：无解 ③：

所以
的解集为
或
． ………5分

（2）
即
的图象恒在
图象的上方

图象为恒过定点
，且斜率
变化的一条直线作函数
图象如图,其中
，
，∴

由图可知，要使得
的图象恒在
图象的上方

∴实数
的取值范围为
． ………10分