河南省实验中学2014届高三二测模拟卷

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义
，则
的子集个数为

A．7 B．12 C．32 D．64

2．已知复数
（，
，为虚数单位），则

3. “或”为真命题是“且”为真命题的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．6 B．8 C．10 D．12

5．已知数阵
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若
，则这9个数的和为

A．16 B．32 C．36 D．72

6．如图所示的程序框图，它的输出结果是

A．
B． C．
D．

7．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

A．
B．
C．
或
D．
或

8.若
，
，且当
时，恒有
1，则以
为坐标的点
所形成的平面区域的面积是

A．
B．
C．1 D．

9.在平行四边形ABCD中，
,E为CD的中点．若
，

则AB的长为

A.
B.1 C．
D．2

过抛物线
的焦点F，斜率为
的直线交抛物线于A，B两点，若

，则
的值为

A．5 B．4 C．
D．

11．已知函数
对定义域内的任意都有

，且当
时，其导函数
满足
，若
，则有

12．函数
,则下列说法中正确命题的个数是

①函数
有3个零点；

②若
时，函数
恒成立，则实数k的取值范围是
；

③函数
的极大值中一定存在最小值，

④
，对于一切
恒成立．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．若非零向量
满足
，
，则
与
的夹角为______．

14．函数
,在各项均为正数的数列
中对任意的
都有
成立，则数列
的通项公式可以为（写一个你认为正确的）______

15．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数
，则直线
与圆
有公共点的概率为_______．

16．已知四棱柱
中，侧棱
底面ABCD，且
，底面ABCD的边长均大于2，且
，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥
体积的最大值为______．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）在
中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线
与直线
互相平行（其中
）.

（I）求角A的值， （II）若
的取值范围.

．（本小题满分12分） 从某学校的
名男生中随机抽取
名测量身高，被测学生身高全部介于
cm和
cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[
,
)，第二组[
,
)，…，第八组[
,
]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．

（Ⅰ）求第七组的频率；

（Ⅱ）估计该校的
名男生的身高的中位数以及身高在
cm以上（含
cm）的人数；

（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
{
}，事件
{
}，求
．

19．（本题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 当
，是否在折叠后的AD上存在一点，且
，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

(Ⅱ) 设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

20．（本小题满分12分）

已知函数
，若函数
满足
恒成立，则称
为函数
的下界函数．(1)若函数
是
的下界函数，求实数
的取值范围；

(2)证明：对任意的
，函数
都是
的下界函数．

21．（本小题满分12分）已知
的左、右焦点，O为坐标原点，点
在椭圆上，线段PF
与轴的交点M满足
;

（I）求椭圆的标准方程；

（II）
O是以
为直径的圆，一直线
相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.当
面积S的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

（22）(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；

（Ⅱ）如果AD =AB = 2，求EB的长。

（23）(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；

（Ⅱ）设点为曲线
上的动点，过点作曲线
的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值.

(本小题满分10分)选修45：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
； （2）求函数
的最小值。

河南省实验中学2014届高三二测模拟卷

数学（文科）参考答案

一、1．D 2．C 3.C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．D 10．B 11．C 12.B

二、13．
14．
,

15．
【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组
有(1,1)， (1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36种，其中满足直线
与圆
有公共点，即
，
的数组
有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，……，(6,6)，共
种，因此所求的概率等于
．

16．
【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定

理得
，所以
、在△PMN中，由余弦定理可得

，当且仅当PM= PN时取等号，所以

，所以底面△PMN的面积

，当且仅当PM= PN时取最大值，故三棱锥
的体积

．

18． 【解析】（Ⅰ）第六组的频率为
,所以第七组的频率为

； ……………………………4分

（Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为
，

身高在第二组[160,165)的频率为
，

身高在第三组[165,170)的频率为
，

身高在第四组[170,175)的频率为
，

由于
，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则

由
得

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
…………………………6分

由直方图得后三组频率为
,

所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人． ………………8分

（Ⅲ）第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,则有

共15种情况，

因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为
共7种情况，故
． ……………………10分

由于
，所以事件
{
}是不可能事件，
，

由于事件和事件是互斥事件，所以
………12分

19．【解析】(Ⅰ)存在使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时
．…………… 2分

下面证明：当
时，即此时
，可知
，过点作MP∥FD，与AF交于点
，则有
，又FD＝
，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP
EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CP
平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．……………………… 6分

(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF
平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．由已知BE＝x，，所以AF＝x(0x
4)，FD＝6x．故
．所以，当x＝3时，
有最大值，最大值为3．

20．【解析】(1)若
为
的下界函数，易知
不成立，而
必然成立．

当
时，若
为
的下界函数，则
恒成立，即
恒成立．（2分）

令
，则
．易知函数
在
单调递减，在
上单调递增．（4分）

由
恒成立得
，解得
．综上知
．（6分）

(2)解法一 由(1)知函数
是
的下界函数，即
恒成立，

若
，构造函数
，（8分）

则
，易知
，

即
是
的下界函数，即
恒成立．（11分）

所以
恒成立，即
时，
是

的下界函数．（13分）

解法二 构造函数
，
，

．易知必有
满足
，即
．（8分）

又因为
在
上单调递减，在
上单调递增，

故


，所以
恒成立．（11分）

即对任意的
，
是
的下界函数．（12分）

21．【解析】

（22）（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC 由BC∥OD ?OD⊥AC

则OD是AC的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

?OC⊥DE, 所以DE是圆O的切线 . ……5分

（Ⅱ）BC∥OD?∠CBA = ∠DOA，∠BCA = ∠DAO

?△ABC∽△AOD?
? BC =
=
=

?