天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）

2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)

数学(文科)·答案

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

C

C

B

B

A

C

D

C

B



二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.

（13） （14）

（15）
（16）

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）因为
，由正弦定理得
，…………………………（2分）

又因为
，所以
.…………………………………（5分）

（Ⅱ）由
得，
，
，…………………………………………………（8分）

又因为
，………………………………………………………（10分）

所以
.…………………………………………………………（12分）

（18）解：（Ⅰ）由题意可得
，……………………………（2分）

中位数是
，………………………………………………………………………………（4分）

平均数
.……（6分）

（Ⅱ）由已知可设
，因为当
时，
，所以
，

所以
，当
时,
，…………………………………………（8分）

所以发电量不低于
万千瓦时包含降雨量
和
三类，它们彼此互斥，

………………………………………………………………………………………………（10分）

所以发电量不低于
万千瓦时的概率
.………………………（12分）

（19）解：（Ⅰ）取
的中点
，连接
，

因为
分别是
的中点，所以
，

因为为侧棱
的中点，所以
，…………………………………（3分）

所以四边形
是平行四边形，则
，

因为
平面
，
平面
，所以
平面
.…………………（6分）

（Ⅱ）因为三棱柱
的侧棱
底面
，所以
平面
，

又
平面
，所以
，又
，所以
，

因为
，所以
平面
，所以
，

得
，………………………………………（10分）

因为
，所以
，

因为
，

所以三棱锥
在底面
上的高为
.…………………………（12分）

（20）解：（Ⅰ）因为
，所以
，又
，

得
在
处的切线方程为
，…………………………………………（2分）

又因为
，所以
，又
，

得
在
处的切线方程为
，

因为曲线
与
在
处有相同的切线，所以
.…………………（4分）

（Ⅱ）由
，则
，所以
，

（i）当
时，
，函数
在上单调递增，

又
，所以当
时，
，与函数
矛盾，…………（6分）

（ii）当
时，由
，得
；由
，得
，

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，…………………（8分）

①当
时，
，又
，
，与函数
矛盾；

②当
时，同理
，与函数
矛盾；

③当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

，故
满足题意.

综上所述，
的取值的范围为
.…………………………………………………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）因为点
在圆
内，所以圆
内切于圆
，因为

，所以点
的轨迹为椭圆，且
,所以
，所以轨迹的方程为
.…………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）（i）当
为长轴（或短轴）时，依题意知，点
就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），

此时

.…………………………………………………………（5分）

（ii）当直线
的斜率存在且不为
时，设其斜率为
，直线
的方程为
，

联立方程
得

所以


.…………………………………………………………（7分）

由
知，
为等腰三角形，
为
的中点，
，所以直线
的方程为
，由
解得



，

…………………………………………………………………………………………………（9分）

，

由于
，所以
，………（11分）

当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积的最小值是
，因为
，所以
面积的最小值为
，此时直线
的方程为
或
.

………………………………………………………………………………………………（12分）

（22）证明：（Ⅰ） 因为
是圆
的直径，
是圆
的切线，所以
，又因为
，所以
，可知
，
，所以
，所以
，因为
是
的中点，所以
，所以是
的中点，
. …………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）如图，连接
，因为
是圆
的直径，所以
．

在
中，由（Ⅰ）知是斜边
的中点，

所以
，所以
.

又因为
，所以
．

因为
是圆
的切线，所以
.

因为
，

所以
是圆
的切线.……………………………………………………………………（10分）

（23）解：（Ⅰ）直线
的参数方程为
为参数
.………………………（2分）

因为
，所以
，所以曲线
的直角坐标方程为
.

…………………………………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）将
代入
中，得
，则

有
………………………………………………………（6分）

所以
.又
，所以
，

，………（8分）

由
得
，所以
.………（10分）

（24）解：（Ⅰ）当
时,原不等式化为
, 得
；

当
时,原不等式化为
,得
；

当
时，原不等式化为
,得
，

综上，
或
.………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）当
时,
成立，

当
时,
，得
或
,

所以
或
,得
.

综上，的取值范围为
.…………………………………………………………（10分）