河南省实验中学2014届高三数学模拟考试

数　　学(理科)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1.已知集合
,若
，则
（ ）

A．

2.等差数列
的前 n项和为
，若
,则
( )

A. -2 B.0 C.2 D.4

3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于

A. B.2 C. 1- D. 1-2

4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150

5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是 （ ）

等腰三角形 (B)等腰梯形 （C)五边形 (D)正六边形

6．函数
在区间
的最大值为 （ ）

(A)1 (B)
(C)
(D)2

7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间
单调递减，则（ ）

(A) f(x)在区间
单调递增 (B) f(x)在区间
单调递增

(C) f(x)在区间
单调递减 (D) f(x)在区间
单调递减

8.双曲线
的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于轴，则双曲线的离心率为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

9.已知
外接圆
的半径为，且
．
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，则
的形状为( )

(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形

10.已知数列
满足
，
，则

A. 143 B. 156 C. 168 D. 195

11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ）

A．432 B．288 C．216 D．144

12.函数
在区间
上单调递增，则的取值范围是 （ ）

A．
B.
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.

甲说：乙去我才去；

乙说：丙去我才去；

丙说：甲不去我就不去；

丁说：乙不去我就不去。

最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是

14.某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10
，属于第二档电价的家庭约占40
，属于第三档电价的家庭约占30
，属于第四档电价的家庭约占20
。为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图

由此直方图可以做出的合理判断是

①．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档

②．年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档

③．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档

④．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数

15.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

16.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|
|+|
|为两点
之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；

③到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；

④到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线.

其中正确的命题是_____________.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题过6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，且
，其中是不为零的常数．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）当
时，数列
满足
，
，求数列
的通项公式．

18. （本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.

（Ⅰ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为
，求
的分布列和数学期望；（II）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关.

甲班（A方式）

乙班（B方式）

总计



成绩优秀









成绩不优秀









总计











0.25

0.15

0.10

0.05

0.025





1.323

2.072

2.706

3.841

5.024



附

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧棱
平面
，

为等腰直角三角形，
，且
分别是

的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求锐二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的短半轴长为，动点

在直线
（为半焦距）上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以
为直径且被直线
截得的弦长为的圆的方程；

（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作
的垂线与以
为直径的圆交于点
，

求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．

21.（本小题满分14分）设函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若方程
在
上有两个实数解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：当
时，
．

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图，
是圆O的直径，弦
与
垂直，并与
相交于点，点为弦
上异于点的任意一点，连结
、
并延长交圆O于点
、
.

（Ⅰ）求证：、、、
四点共圆；

（II） 求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的参数方程是
（为参数，
），射线
与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C.（I）求证：|OB|+|OC|=
|OA|;（II）当
时，B，C两点在曲线C2上，求
的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
R.（I）当
时，解不等式
；（II）当
时，
.求的取值范围.

附加思考题：(不用再卷子上作答 思考即可)

25、 设
的内角
的对边分别为
，则总有
.由正弦定理得
.由导数公式：
，可以得到结论：对任意
有
.

上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误.

答案：

BACBD CDABC BA

甲乙丙 ，①③④，
,①③

17.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）证明：因为
,则
，

所以当
时，
，整理得
．-------------4分

由
，令
，得
，解得
．

所以
是首项为
，公比为
的等比数列． -----------------6分

（Ⅱ）当
时，由（Ⅰ）知，则
，

由
，得
， ----------------- 8分

当
时，可得

＝
， -----------------10分

当
时，上式也成立．

∴数列
的通项公式为
． ----------------- 12分

19.【解析】（Ⅰ）连结
，∵是等腰直角三角形
斜边
的中点，∴
.

又三棱柱
为直三棱柱，

∴面
面
，

∴
面
，
. -------2分

设
，则
.

∴
，∴
. -------------------4分

又
，∴
平面
.-------------------6分

（Ⅱ）以为坐标原点，
分别为
轴建立直角坐标系如图，设
，

则
，

，
.

-------------------8分

由（Ⅰ）知，
平面
，

∴可取平面
的法向量
.

设平面
的法向量为
，

由

∴可取
.-------------------10分

设锐二面角
的大小为
，

则
.

∴所求锐二面角
的余弦值为
.-------------------12分

20.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由点
在直线
上，得
，

故
， ∴
． 从而
． ……………2分

所以椭圆方程为
． ……………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆的方程为
．

即
． 其圆心为
,半径
．…………6分

因为以
为直径的圆被直线
截得的弦长为，

所以圆心到直线
的距离
．

所以
，解得
．所求圆的方程为
．……9分

（Ⅲ）方法一：由平几知：
，（K为垂足）

直线

，直线

，

由
得
．

∴
．

所以线段
的长为定值
． ……………13分

方法二：设
，

则
．

．

又
．

所以，
为定值．

21.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）
．

①
时，
，∴
在
上是增函数．-----------------1分

②当
时，由
，由
，

∴
在
上单调递增，在
上单调递减. -------------------4分

（Ⅱ）当
时，由（Ⅰ）知，
在
上单调递增，在
上单调递减，

又
， ------------------6分

∴
．

∴当
时，方程
有两解． ------------------8分

（Ⅲ）∵
.∴要证：
只需证

只需证：
．

设
， -------------------10分

则
．

由（Ⅰ）知
在
单调递减， --------------------12分

∴
，即
是减函数，而
．

22.(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】解 (1)连结
，则
，又
，

则
，即
，

则、、、
四点共圆. (5分)

(2)由直角三角形的射影原理可知
，

由
与
相似可知：
，

，
，

则
，即
. (10分)

上述结论不正确.

例如：当
时，

错误：求导运算不保证不等式关系不变.