2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）

文科数学

一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知复数
，则它的共轭复数等于( )

A．
B．
C．
D．

3.．命题“
”的否定是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知
是两个不同的平面，下列四个条件中能推出
的是（ ）

①在一条直线
, ③存在两条平行直线
；

②存在一个平面
； ④存在两条异面直线
.

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

5．已知平面向量
的夹角为
且
，在
中，
，
，为
中点，则
( )

A.2 B.4 C.6 D.8

6．能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是（　　）

A．
B．
C．
D．

7.已知sinα＋cosα＝，则tanα＝( )

A． B． C．－  D．－

8．已知等比数列
的前An项和为
，且
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是 （ ）

A．
 B.
 C．
 D.


1 0．已知实数
满足
，则
的最大值为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

11．设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使
=
,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)
12．已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13．已知函数
，则
．

14.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，(ABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体积为_________________.

15. 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，
、
分别为
、
的中点.下列结论中正确的题号有

①直线
与
相交.

②
.③
//平面
. ④三棱锥
的体积为
.

16. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10
，属于第二档电价的家庭约占40
，属于第三档电价的家庭约占30
，属于第四档电价的家庭约占20
。为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图

由此直方图可以做出的合理判断是

①．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档

②．年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档

③．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档

④．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数

三、解答题（本大题共8小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17. （本小题满分12分）若
的图像与直线
相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.

(1)求和的值；

(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若
是函数
图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC周长的取值范围.

18．（本小题满分12分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间
内的一个数，该数越接近10表示越满意．为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：

幸福感指数













男市民人数

10

20

220

125

125



女市民人数

10

10

180

175

125



根据表格，解答下面的问题：

（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；

（参考数据：
）

（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过
的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？

参考公式：

0.10

0.01

0.001





2.706

6.635

10.828





19（本小题满分12分）

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，
于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥
，如图2所示.

（1）若M是FC的中点，求证：直线
//平面
；

（2）求证：BD⊥
；

（3）若平面
平面
，试判断直线
与直线CD能否垂直？并说明理由.

（本小题满分12分）

已知抛物线
上的一点（m，1）到焦点的距离为
.点
是抛物线上任意一点（除去顶点），过点
与的直线和抛物线交于点
，过点
与的直线和抛物线交于点
.分别以点
，
为切点的抛物线的切线交于点P′.

（I）求抛物线的方程；

（II）求证：点P′在y轴上.

21．（本小题满分12分）对于函数
，若
时，恒有
＞
成立，则称函数
是D上的J函数．

（Ⅰ）当函数
是定义域上的J函数时，求m的取值范围；

（Ⅱ）若函数
为（0，＋∞）上的J函数，

试比较
与
的大小；

求证：对于任意大于1的实数
均有
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分） 如图，圆O1与圆O2相交于A，B 两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证： （1）PA?PD=PE?PC； （2）AD=AE．

23．（本小题满分
分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．

已知曲线的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点在曲线
上，点
，当点在曲线
上运动时，求
中点的轨迹方程．

24．（本小题满分
分）选修4─5：不等式证明选讲．

已知函数
．

（1）求

的解集；

（2）设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）

文科数学答案

选择题：

D CB C A CAD D DA B

二、填空题 13. 5 14.
15. ②③ ④ 16.①③④

18.

19.【解析】

试题解析：（1）因为,
分别为
中点，所以
//
2分

又
，

所以
. 4分

（2）因为
，
且

所以
7分

又

所以
8分

（3）直线
与直线
不能垂直 9分

因为
,
,
,

，

所以
. 10分

因为
，所以
，

又因为
，所以
.

假设
，

因为
，
，

所以
， 11分

所以
，

这与
为锐角矛盾

所以直线
与直线
不能垂直. 12分

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理

20．解：（Ⅰ）由题意得
，

所以抛物线的方程为
…………4分

（II）设
， 因为

则以点
为切点的抛物线的切线方程为

又
，所以
……………6分

同理可得以点
为切点的抛物线的切线方程为

由
解得
………………………………………8分

又过点
与
的直线的斜率为

所以直线
的方程为

由
得
所以
，即
……10分

同理可得直线
的方程为

由
得
所以
，即

则
，即P′得横坐标为0，

所以点P′在y轴上………………………………………………12分

21解：（Ⅰ）由
，可得
，

因为函数
是
函数，所以
，即
，

因为
，所以
，即的取值范围为
.……………………………3分

（Ⅱ）①构造函数
，

则
，可得
为
上的增函数，

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
.…………………6分

②因为
，所以
，

由①可知
，

所以
，整理得
，

同理可得
，…，
.

把上面个不等式同向累加可得
.……………………12分

（1）

①……………………2分

②……………………4分

由 ①②得
……………………5分

(2)连接AC,DE.
，

.

由（1）知，
……………………8分

AB是圆
的直径 弧AD=弧AE
.……………10分

23. 【解析】（1）将
代入
，得
的参数方程为

∴曲线
的普通方程为
． ………5分

（2）设
，
，又
，且
中点为

所以有：

又点在曲线
上，∴代入
的普通方程
得

∴动点的轨迹方程为
． ………10分

24.【解析】（1）

∴
即

∴
① 或
② 或
③

解得不等式①：
；②：无解 ③：

所以
的解集为
或
． ………5分

（2）
即
的图象恒在
图象的上方

图象为恒过定点
，且斜率
变化的一条直线作函数
图象如图,其中
，
，∴

由图可知，要使得
的图象恒在
图象的上方

∴实数
的取值范围为
． ………10分