2015届高三毕业班调研考试

数学(理科)·答案

选择题：本大题共12小题,每小题5分.

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.

三、解答题

（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件，则
……………………………………（6分）

（Ⅱ）由题意可知
的可能值为0,1,2,3，

则

所以
的分布列为

0

1

2

3
















（或
).…………………（12分）

（Ⅱ）取
的中点
，连接
，

∥
，
∥
，且
，
，

∴平面
∥平面
，

∴平面
与平面
所成的角等于平面
与平面
所成的角，

由（Ⅰ）知
平面
，∴
，
，

∴
为平面
与平面
所成二面角的平面角，……………………………（9分）

易知
,∴
平面
，

∴
为等腰直角三角形，∴
，

∴平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.……………………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）
，
的定义域为
，…………………（ 1分）

当
时，
，所以
在
上单调递增；

当
时，令
，得
，此时
，
随的变化情况如下表：





















↘

极小值

↗





所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.

综上可得：当
时，
在
上单调递增，无减区间；

当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.………………（4分）

（Ⅱ）由题意得
，由（Ⅰ）知，当
时，
，

则
，令
，可得
，因此
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，故
成立的解只有
；……………………………………………………………………………（6分）

当
时，
在
上单调递增，
，
，故不合题意.

综上可知实数的取值集合为
.…………………………………………………………（8分）

（Ⅲ）要证明原不等式，只要证
，即证
，令
，只要证
，…………（9分）

由（Ⅰ）可知，当
时，
在
上单调递增，因此
，即
.………………………………………………………………………………（10分）

令

，则
，所以
在
上单调递增，因此
，即
，综上可知原命题成立.……………（12分）

（23）解：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为
，则
，

即
，所以圆的直角坐标方程为
.……………………………（2分）

因为
，是锐角，所以
，
，

又直线的极坐标方程
，

所以
，

即直线的直角坐标方程
．………………………………………………（5分）

（Ⅱ）联立
得
或
取
，
，设点
是圆上的任一点，

因为
为圆的直径，则
，

而
，
，

所以
，即
，………………………（8分）

化为标准方程为
，

所以圆的参数方程为
（为参数）………………………………（10分）