唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

所以bn＝＋n(4n＝. …11分

明显，n＝1时，也成立．

综上所述，bn＝． …12分

（18）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i＝0，1，2，3，4，5），

则P(A2)＝＝． …4分

（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．

P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋＝；

P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P (A1)＋P(A4)＝ ＋＝；

P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P(A5)＝ ＋＝．

则随机变量ξ的分布列为

ξ

1

3

5



P









…10分

则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分

（19）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，

则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．

因为DE(平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1． …4分

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，

C1(0，1，2) D(，，0)，

＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分

设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则

不妨取m＝(2，－2， 1)． …9分

易得平面ABA1的一个法向量n＝＝(0，1，0)． …10分

cos＝＝，

平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是． …12分

（20）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．

当m＝0时，l的方程为y＝x，

代入并整理得x2＝． …2分

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，

·＝－x－y＝－x＝－·．

又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，

椭圆C的方程为． …5分

（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y． …8分

则|PA|2＋|PB|2＝( y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]

＝[(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． …12分

（21）（本小题满分12分）解：

（Ⅰ）f((x)＝2ex－a．

若a≤0，则f((x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

若a＞0，则

当x∈(－∞，ln)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(ln，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增． …4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，故f(x)≥0不恒成立．

若a＞0，则由f(x)≥0＝f(0)知0应为极小值点，即ln＝0，

所以a＝2，且ex－1≥x，当且仅当x＝0时，取“＝”． …7分

当x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2(ex2－ex1)－2(x2－x1)

＝2ex1(ex2－x1－1)－2 (x2－x1)≥2ex1(x2－x1)－2(x2－x1)＝2(ex1－1) (x2－x1)，

所以＞2(ex1－1)． …12分

注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：

（Ⅰ）证明：

因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(.

所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：

（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*）

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． …10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：

（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|

≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，

当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分

（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|．

当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．

当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．

综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分