高三第一次月考试卷

数学

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是

A.
B.
C.
D.

4．已知点
在角
的终边上，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

5．下列说法错误的是

A．若
，则
；

B．“
”是“
”的充分不必要条件；

C．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”；

D．已知
，
，则“
”为假命题.

6．设函数
的定义域为，
是
的极小值点,以下结论一定正确的是

A．
B．
是
的极大值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极大值点

7．设
,函数
的导数是
,若
是偶函数，则

A. 1 B. 0 C.
D.

8．已知函数
，若
，则实数

A.
B. C.
D.
或

9．已知函数
的图像是下列四个图像之一，且其导函数
的图像如右图

所示，则该函数的图像是

10．函数
的图象如图所示，为了得到函数
的图象，只需将
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

11．定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则

A．
B．

C．
D．

12．函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为

A．8 B．9 C．16 D．17

第Ⅱ卷

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上)

13．已知
，且
，则
．

14．已知奇函数
的图象关于直线
对称，当
时，
，则
．

15．一物体沿直线以速度
的单位为：秒，的单位为：米/秒
的速度做变速直线运动，则该物体从时刻
秒至时刻
秒间运动的路程是 ．

16．若实数
满足
，则
的最小值为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若是第二象限的角，化简三角式
，并求值．

18.（本小题满分12分）

提高立交桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，立交桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当
时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．

19．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为.

（Ⅰ）求函数
，
的单调增区间；

（Ⅱ）证明：无论为何值，直线
与函数
的图象不相切.

20．（本小题满分12分）

设
.

（Ⅰ）求
的值域；

（Ⅱ）若
，
，使得
成立，求实数的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若实数
，求函数
在
上的极值；

（Ⅱ）记函数
，设函数
的图像
与轴交于点，曲线
在点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为
则当
时，求
的最小值.

22．（本小题满分12分）

已知函数
的定义域为
，对定义域内的任意，满足
，当
时，

为常数
，且
是函数
的一个极值点.

（Ⅰ）若
时，
，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：
.

高三第一次月考数学答案

选择题 BACCB DADBC BD

填空题 13.
14.
15.
16.

解答题

17.解：（Ⅰ）
，解得：
………………2分

……………………4分

（Ⅱ）

是第二象限的角，

上式
………………7分

，由
及

，
……9分

，即
………10分

18．解：（Ⅰ）由题意：当
时，
； …… ………2分

当
时，设

再由已知得
解得
，所以
………5分

故函数
的表达式为
………6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
………8分

当
时，
为增函数，故当
时，其最大值为

当
时，

当
时，
在
的最大值为

综上，当当
时，
在
的最大值为
………11分

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.…12分

19.解：（Ⅰ）

………………2分

的最小正周期为
,
，

即
…………3分

由
，得
…………5分

又
，
时，取

时，取

的单调增区间为
……………7分

（Ⅱ）

，
…………10分

而直线
的斜率为

在
图象上不存在点，使得该点的导数为4，

即无论取得何值，直线
与函数
的图象相切.…………12分

20.解：（Ⅰ）令
，则
，

，
在
上单调递增…………3分

时，
取得最小值
，
时，
取得最大值1；

的值域为
. …………………………6分

（Ⅱ）
，
在
单调增

的值域为

由
时，

，
，使得
成立，

故有
的值域是
的值域的子集； …………………7分

当
时，
，

； ……………………9分

当
时，
，

；

当
时，显然不符合题意；

综上，实数的取值范围为
.

21.解：（Ⅰ）
，当
时，由
得

若
则
，
在
恒成立，

在
单调递增，无极值； …………………3分

若
，则当
时，
单调递减；当
时
单调递减，

所以
时，
有极小值
，

无极大值. ………6分

（Ⅱ）
，令
，则
即

点处切线的斜率为

点处切线方程为
………………8分

令
得
，令
，得

…………………10分

令
，

当且仅当
即