桂林中学2015届高三年级8月月考(理科)

说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）

第Ⅰ卷 选择题

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．设全集为
，集合
则
( )

2．复数
在复平面上对应的点位于（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

3．若
，则
与
的夹角为 （ ）

A．30° B．60° C．150° D．120°

4．在
中，
分别为
的对边，如果
成等差数列，
，
的面积为
，那么
（ ）

5．从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ）

6．过曲线
上点
处的切线平行于直线
点
的坐标为 ( )

7．如果变量
满足条件
上，则
的最大值（ ）

8.设命题
的解集是实数集
则
是
的( )

必要不充分条件
充分不必要条件

充要条件
既不充分也不必要条件

9．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为
，从集合
中任取一个元素a，则函数
是增函数的概率为( )

10．设
为抛物线
的焦点，过
且倾斜角为
的直线交
于
两点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,四边形ABCD为正方形,点
是
的中点,则异面直线
与
所成角的余弦值为(　　)

12．已知函数
（

为常数），当
时取极大值，当
时取极小值，则
的取值范围是（ ）

第II卷 非选择题

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设常数
.若
的二项展开式中
项的系数为
,则
=_______.

14．函数
的值域是_______.

15．若
在
上是减函数，则
的最大值是 .

16．在平面直角坐标系
中，圆C的方程为
若直线
上存在一点
，使过
所作的圆的两条切线相互垂直，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

17．（本小题满分为10分）在数列
中，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式

18．（本小题满分为12分）已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。

（Ⅰ）（1）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD
AE？试证明你的结论；

(Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。

19．（本小题满分为12分）某校从高

一年级学生中随机抽取40名学生作

为样本，将他们的期中考试数学成绩

（满分100分，成绩均为不低于40分

的整数）分成六组：
，
，
后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数
的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

20. （本小题满分为12分）椭圆
的左、右焦点分别为
上顶点为
,在
轴负半轴上有一点
,满足

（Ⅰ）求椭圆
的离心率.

（Ⅱ）
是过
三点的圆上的点,
到直线
的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆
的方程.

21．（本小题满分为12分）设

（Ⅰ）若
在
上存在单调递增区间，求
取值范围；

（Ⅱ）当
时，
在
上的最小值为
，求
在该区间上的最大值.

22．（本小题满分为12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到
元．公司拟投入
万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

桂林中学高三年级8月月考试题答案（理科）

一．选择题：CBA BBA DAC CCD

1解：因为

所以

.

考点：集合的运算

2．解：
，

∴在复平面上对应的点位于第三象限.

考点：复数与复平面.

3．解：由
可得
,设
与
的夹角为
，

则

，所以
与
的夹角为30°，选A.

另解：由向量加减几何意义，得夹角为

考点：数量积表示两个向量的夹角

点评：本题主要考查数量积所抽象出的主要题类型，向量模的运算，夹角运算，这是向量考查的主要类型，也是解决空间距离和空间角的主要方法．

4． 解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2-2ac．

又△ABC的面积为
，且∠B=30°，

故由S△=
acsinB=
ac?sin30°=
ac=
，

得ac=6，∴a2+c2=4b2-12．

由余弦定理cosB=
=
=
，

解得b2=4+2
．又∵b为边长，∴b=1+
．选B。

考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用。

点评：中档题，本题综合性较强，综合考查等差数列，三角形面积，余弦定理的应用。通过构建方程组，得到解题目的。

5．解：因为偶数=偶数+偶数=奇数+奇数，所以要分为两种情况来讨论，

,因此选择B。

6． 解：由y=x4-x，得到y′=4x3-1，又直线y=3x+2的斜率为3，

则4x3-1=3，解得x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，

所以点P的坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

7． 解：画出已知不等式所表示的平面区域：，再作出
，由于目标函数z的几何意义可知：当直线经过点
时，
，故选D.

考点：线性规划.

8．解：
的解集是实数集,(1)若
,则
恒成立;(2)若
则
故
由(1)(2)得
故选

9．解：由程序框图可知：初始条件

１．
是，所以
，从而

２．
是，所以
，从而

３．
是，所以
，从而

４．
是，所以
，从而

５．
是，所以
，从而

6．
是，所以
，从而

7．
是，所以
，从而

8．
否．从而集合
；而函数
是增函数必须且只需
＞０，故所求概率Ｐ
，故选Ｃ．

考点：１．程序框图；２．概率．

10．解：由题意，得
．又因为
故直线AB的方程为
与抛物线
联立，得
，设
，由抛物线定义得，

，选C．

考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．

11. 解：设棱长都为1,连接AC,BD交于点O,连接OE.

因为所有棱长都相等,因为ABCD是正方形,所以O是BD的中点,且OE∥PD,

故∠AEO(或其补角)为异面直线AE与PD所成的角.易知

在△OAE中,由余弦定理得

12．解：因为函数
的导数为
.又由于当
时取极大值，当
时取极小值.所以
即可得
，因为
的范围表示以
圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大，过点B最小，通过计算可得
的取值范围为
.故选D.

考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.

二．填空题：-3；
； -1；

13．解：二项式展开式第r项为
令10-3r=7 则r=1

所以
解得

考点：1.二项式定理.2.二项式展开公式.

14．解：
.

因为
.

所以
.

考点：三角恒等变换及三角函数的值域.

15．解：函数的定义域是
即
而

因为
函数
在
上是减函数，

即
在
恒成立，得
在
恒成立，

令
，在
，
所以

所以
的最小值为

考点：函数导数的应用及恒成立问题综合

16．解：圆C的方程为
．解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点
到圆心的距离为
”，再将“直线上存在点
到圆心的距离为
”转化为“圆心到直线的距离小于等于
”，再利用点到直线的距离公式求解．即

考点：圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式

三．解答题：

17．（满分10分）分析：(I)赋值:令
；（II）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，∴利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出

的通项公式，从而求出
.

解：（I）令

令

.--------------4分

(II)
,

∴数列
是首项为4，公比为2的等比数列，---------------------7分

∴

-------------------------10分

考点：1、赋值法；2、等比数列的定义。

18．（满分12分）分析：本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。

解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，

-----------------4分

（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD∴PC⊥BD

而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，

而AE?面ACE∴BD⊥AE -----------------7分

（III）法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O

∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°-------------12分

法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系

则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），

从而
=（-1，0，1），
=（0，1，0），

（1，0，0），
（0，-1，1）

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

（x1，y1，z1），
=（x2，y2，z2）则-x1+z1=0，y1=0

x2=0，-y2+z2=0令z1=1，z2=-1，

则
（ （1，0，1），
=（0，-1，-1）

设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|=|

二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B是120°-----