唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案

选择题：

A卷：CDBCA BCDCD BA

B卷：ADBCC ACDDC BB

二、填空题：

（13）（，＋∞） （14）6 （15）x2－＝1 （16）3＋

三、解答题：

（17）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由题设得a1＝S1＝2k－1，

a2＝S2－S1＝4k－1，

由a2－a1＝2得k＝1，

则a1＝1，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. …4分

（Ⅱ）bn＝bn－1＋2＝bn－2＋2＋2＝b1＋2＋2＋…＋2＋2．

由（Ⅰ）知2＝22n－1，又因为b1＝2，所以

bn＝21＋23＋25＋…＋22n－3＋22n－1＝＝．

明显，n＝1时，也成立．

综上所述，bn＝． …12分

（18）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，

解得x＝0.0125． …4分

（Ⅱ）设中位数为t，则

20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得t＝30.

样本数据的中位数估计为30分钟． …8分

（Ⅲ）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．

因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，

抽取不享受补助人员25×88%＝22人． …12分

（19）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，

则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．

因为DE(平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，

则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求． …6分

因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，

所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．

作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离． …10分

在Rt△DCC1中，CF＝＝．

所以A1到与平面ADC1的距离为． …12分

（20）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）f((x)＝2ex－a．

若a≤0，则f((x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

若a＞0，则

当x∈(－∞，ln)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(ln，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增． …5分

（Ⅱ）注意到f(0)＝0．

若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．

若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．

若ln＞0，即a＞2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)＜0，不合题意．

综上所述，a的取值范围是(－∞，2]． …12分

（21）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．

当m＝0时，l的方程为y＝x，

代入并整理得x2＝． …2分

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，

·＝－x－y＝－x＝－·．

又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，

椭圆C的方程为． …5分

（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得

25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y． …8分

则|PA|2＋|PB|2＝( y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]

＝[(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． …12分

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：

（Ⅰ）证明：

因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(.

所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：

（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*）

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． …10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：

（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|

≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，

当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分

（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|．

当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．

当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．

综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分