一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．已知集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则的共轭复数是 （ ）

A.
B.
C. D.

3. 设变量
满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）

A.2 B. 3 C. 4 D. 5

4．已知
，则“
”是 “
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，

则此几何体的体积等于（ ）

A.
B.
C.
D.

6．直线
经过椭圆
的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知向量
与
的夹角为120°,且
,若
,且
，则实数
的值为( ）

A．
B．
C．
D．

已知
，且
，现给出如下结论：

①
；②
；③
；④
. 其中正确结论个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．若
,则
的值是 .

10. 设随机变量
服从正态分布
，若
，则的值为 .

11.若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．

12.若等比数列
的各项均为正数，且
，则

.

13.已知
的展开式中的常数项为，
是以为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
与曲线
，（为参数）交于、两点，且
，以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
的极坐标方程是________.

15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，
，那么⊙O2的半径为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的最小正周期；

(Ⅱ)已知
内角
的对边分别为
，且
，若向量
与
共线，求
的值．

17．（本小题满分13分）

为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．

(Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；

(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．

18. （本小题满分13分）

如图，在直三棱柱
中，平面
侧面
，且

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ)若直线
与平面
所成的角为
，求锐二面角
的大小.

19. （本小题满分14分）

已知数列
中，
，前项和
．

(Ⅰ)设数列
满足
，求
与
之间的递推关系式；

(Ⅱ)求数列
的通项公式.

20．（本小题满分14分）

已知点是椭圆
的右焦点，点
、
分别是轴、轴上的动点，且满足
．若点满足
．

(Ⅰ)求点的轨迹
的方程；

(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线
、
与直线
分别交于点
、（
为坐标原点），试判断
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（为常数，
）

（Ⅰ）若
是函数
的一个极值点，求的值；

（Ⅱ）求证：当
时，
在
上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求正实数的取值范围.

 2014~2015学年广州六中高三理数第一次测验卷答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

B

A

C

C

B

D





二、填空题：

（一）必做题（9～13题）

9．
10．
11．19 12. 12 13.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题满分12分）

解：

17．（本小题满分13分）

解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ------------2分

(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分

则事件A包含的基本事件个数为：
----------5分

总的基本事件个数为：
-----------6分

--------------------7分

（3）X的可能取值为0,1,2,3. -------------------8分

由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，
)．

P(X＝0)＝(
)3＝
，P(X＝1)＝
×
×(
)2＝
，

P(X＝2)＝
×(
)2×
＝
，P(X＝3)＝(
)3＝
，------------------12分

X的分布列为

X

0

1

2

3



P











故X的数学期望E(X)＝3×
＝
.------------------13分

18.解（1）证明：如图，取
的中点，连接
， --------1分

因
，则
---------2分

由平面
侧面
，且平面

侧面

， ---------3分

得
，又
平面
， 所以
. -------- 4分

因为三棱柱
是直三棱柱，则
，所以
. ------ 5分

又
，从而
侧面
，又
侧面
，故
. -------6分

解法一：连接
，由（1）可知
，则
是
在
内的射影

∴
即为直线
与
所成的角，则
------7分

在等腰直角
中，
，且点是
中点，∴
，且
，
∴
--------8分

过点A作
于点，连
，由（1）知
，则
，且

∴
即为二面角
的一个平面角 --------9分

且直角
中：
，又
，

∴
，-------11分

且二面角
为锐二面角 ∴
，即二面角
的大小为
----13分

解法二（向量法）：由（1）知
且
，所以以点为原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图所示，且设
，则
，
，
，
，
，
，
，

----------------8分

设平面
的一个法向量
，由
，
得：

令
，得
，则
------9分

设直线
与
所成的角为
，则

得
，解得
，即
-------10分

又设平面
的一个法向量为
，同理可得
，-----11分

设锐二面角
的大小为，则

，且
，得

∴ 锐二面角
的大小为
. ------------13分

19.解： （1） ∵
∴

∴

----------4分

整理得
， 等式两边同时除以
得
， ----7分

即
-------8分

由（1）知
即

所以

得
---------14分

20. 解：（1）椭圆