将军中学2014届高三上学期第四次大考数学（文）试题

2013．12．7

一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）

1．已知集合
，
，则

A．{－1，3} B．{－1，0，3} C．{0，2，3} D．{1，2，3}

2．已知函数
为奇函数，且当
时，
，则

A．－2 B．0 C．1 D．2

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是

4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

5．函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是

A．2，－　　 　 B．2，－

C．4，－ 　 　　 D．4，

6．给定两个命题
．若
是的必要而不充分条件，则是
的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知＞0，
满足约束条件
若目标函数
的最小值为1，则＝

A． B． C．1 D．2

8．在△ABC中,
分别是内角
所对的边长，
,
,

,
.则内角的大小为

A.
B.
C.
D.

9．已知椭圆：
（＞
＞0）的右焦点为
，过点的直线交于
两点．若线段
的中点坐标为
，则椭圆的方程为

A．
B．
C．
D．

10．定义
表示不超过的最大整数，记
，其中对于
时，函数
和函数

的零点个数分别为
．则
的值分别是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共有5个小题，每小题5分，共25分）

11．设
（为虚数单位），则复数的模为 ．

12．利用计算机产生
之间的均匀随机数，则事件“
”发生的概率为 ．

13．执行如图所示的程序框图，输出的
值为 ．

14．直线
被圆
所截得的弦长等于 ．

15、设函数
，0＜＜2．若
的三个零点为
，且
，有以下论断：①
＞－1，②
＜0，③
＞0，④
＞2．其中正确的序号是　　　 ．(将你认为正确的论断的所有序号都填上)

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）

从用0，1，2，3，4，5，6这七个数字中的任意两个不同数字组成的二位数中随机取数，求

（1）取得偶数的概率；

（2）取得完全平方数的概率．

17、（本小题满分12分）

的外接圆半径
，内角
的对边分别是
，且
．

（1）求内角和边长
；

（2）求
的最大值及取得最大值时的
的值，并判断此时三角形的形状．

18、（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，是
的中点，点在棱
上运动．

（1）证明：
；

（2）当异面直线
所成的角为
时

求三棱锥
的体积．

19、（本小题满分12分）

正项数列
中,
,
．

（1）设
，求证数列
为等比数列,并求通项
；

（2）设
，求数列
的前项和
．

20、（本小题满分13分）

设函数
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若函数
在区间
上是减函数,求的取值范围．

21、（本小题满分14分）

已知平面内一动点
到点
的距离与点到轴的距离的差等于1．

（1）求动点P的轨迹
的方程；

（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．

将军中学2013～2014学年度第一学期高三

第四次大考数学文科试卷参考答案

（2）取得完全平方数的概率
．…………………12分

17、解：（1）由
,得：
，即
，

所以
．（或去分母三角恒等变换得出） …………………4分

又
，所以
，又
，所以
…………………6分

（2）由
，

得
，∴

（当且仅当
时取等号）………………8分

∴
（当且仅当
时取等号）

此时
…………………10分

综上，
的最大值
，此时三角形是等边三角形…………………12分

18、解：（1）∵
，是
的中点，

∴
． ①

又在直三棱柱
中，
，而
，

∴
． ②

由①，②得
．

由点在棱
上运动，得
，

∴
．…………………………………………………………6分

（2）∵
．
，

∴
，又
，

从而
，于是
．

故
，又
，

∴
．

从而
…………12分

19、解: （1）由已知得
，∴
，

又
，∴数列
是以１为首项，
为公比的等比数列．

∴
.……………………………6分

（2）
，
；

；

　　　 两式相减得

∴
．……………………………12分

20、解: （1）∵
,其定义域为
.

∴
……………………………2分

①当
时,
＞0,
的单调递增区间为
；………………3分

②当
时,
,

则当
时,
,此时
的单调递增区间为
；……………5分

③当
时，
，

则当
时,
,此时
的单调递增区间为
．…………7分

（2）由（1）知，当
时,
的单调递增区间为
，不合题目意．

当
时，
在
上单调递减，

∴
≤１，解得≥１；

当
时，
在
上单调递减，

∴
≤１，解得≤－１．

综上：的取值范围是
……………………13分

21、解: （1）由题意有
，化简，得

动点P的轨迹
的方程为
（≥０）．………………6分

（Ⅱ）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．

由
得
．

设
，则
是上述方程的两个实根，

于是
．………………８分

∵
，∴
的斜率为
．

设
，则同理可得
．……………10分

故

＝

＝

＝

＝

＝

＝
．

当且仅当
时，
取得最小值16．………………………14分