将军中学2014届高三上学期第三次大考数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）

1.复数
，
,则复数
的虚部为 （ ）

A. B.
C.
D.

2．函数
的定义域是 (　 　)

A．
B．
C．
D．

3.已知等比数列
中,公比
若
则
有（ ）

A．最小值
B．最大值
C．最小值12 D．最大值12

4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行

调查，结果显示这些同学的支出都在
（单位：元），其中支

出在
（单位：元）的同学有
人，其频率分布直方图如右

图所示，则的值为（ ）

　A．100 　 B．120 C．130 D．390

5. 函数
（其中＞0，
＜
的图象如图所示，为了得到
的

图象，只需将
的图象 ( )

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

6. 若、满足条件
，当且仅当
时,
取最小值,则实数的取值范围是（　 　）

A．
B．
C．
D．

7．过直线
上的一点作圆
的两条切线
为切点,当直线
关于直线
对称时，则
（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )

A．
B．
C． D．

9．设函数
的导函数为
，对任意
都有

成立，则（ ）

A.
B.

C.
D.
与
大小不确定

10。如图，长方形ABCD的长
，宽
，线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为，则函数
的图象大致为（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11.
；

12. 程序框图如下图：如果上述程序运行的结果为
＝132，那么判断框中应填入 ；

13.设函数
,对任意
，
恒成立,则实数的取值范围 是 ；

14.已知椭圆
的左焦点
，
为坐标原点，点在椭圆上，点
在椭圆的右准线上，若
，

，则椭圆的离心率为 ；

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分

15.（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点，分别在曲线
（
为参数）和曲线
:
上，则
的最小值为

（2）（不等式选讲选做题）已知不等式
有实数解，则实数的最大值为

四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知
，
，函数
,其中
,若
相邻两对称轴间的距离大于等于

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)在△ABC中,
分别是角
的对边,
,当最大时,
, 求△ABC的面积.

17.（本小题满分12分）李先生家住
小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有
、
两条路线（如图），
路线上有
、
、
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；
路线上有
、
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
.

（Ⅰ）若走
路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走
路线，求遇到红灯次数的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

18.（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.

（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；

（2）若M是AB的中点，求折起后AC

与平面MCD所成角的正弦值。

19. （本小题满分12分）已知椭圆
左、右焦点分别为F1、F2，点
，点F2在线段PF1的中垂线上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线
与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角互补，求

证：直线
过定点，并求该定点的坐标.

20. （本小题满分13分）已知数列{
}、{
}满足：
．

（1）求
，
，
；

（2）设
，求证：数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（3）设
，不等式
恒成立时，求实数的取值

范围.

21. （本小题满分14分）
，
. （为自然对数的底数）

（1）当
时，求
的单调区间；（2）（i）设
是
的导函数，证明：当
时，在
上恰有一个
使得
；（ii）求实数的取值范围，使得对任意的
，恒有
成立。

将军中学2013～2014学年度第一学期高三年级

第三次大考数学（理科）参考答案

联立解得
所以
………………12分

17.解：（Ⅰ）设“走
路线最多遇到1次红灯”为事件， ……………1分

则　　
，　　　　　 ……………3分

所以走
路线，最多遇到1次红灯的概率为
.　　　 　 ……………4分

（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　 　　 　……………5分

. ……8分

随机变量的分布列为：

0

1

2













所以
.　　　　　　 ……………10分

（Ⅲ）设选择
路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布
，所以
. 因为
，所以选择
路线上班最好. ……………12分

设
在
上最大值为
则
，