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松昌中学2015届高三第一次统测理科数学试卷

参考公式：锥体体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i为虚数单位，
＝

A．－1 B．1 C．
D．

2．设集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
，
，若
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

4．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长

为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

6. 在二项式
的展开式中，含
的项的系数是

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若
，

C＝，则△ABC的面积是

A．3 B. C. D．3 

8．对于实数a和b，定义运算“*”：
*
设
*
，且关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，
，
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．在等比数列
中，若
，则
__***__．

10．不等式
的解集为 *** ．来源

11．如图是
一个算法的程序框图,最后输出的
= *** ．来源

12．若
，
满足约束条件
则
的

最大值为__***__．

13．已知点
在曲线
（其中
为自然对数的底数）上，
为曲线在点
处的切线的倾斜角，则
的取值范围是__***__．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图，
为⊙
的
直径，
，弦
交
于点
．

若
，
，则
的长为__***__．

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

已知曲线
(θ为参数)的对称中心为点M，以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，则点M的极坐标为__***__．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
（
）的图像上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω的值；

(2)若
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

空气质量指数
(单位:
)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．
的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

日均浓度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250

＞250



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染





从甲城市2014年7月份的30天中随机抽取15天的
日均浓度指数数据茎叶图如图所示．

（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别

为优或良的天数；

（2）在甲城市这15个监测数据中任取
个，设
为空气

质量类别为优或良的天数，求
的分布列及数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图,长方体
中,
,点
是
的中点.

(1)求证：
;

(2)求二面角
的正切值.

19．（本小题满分14分）

已知数列
前n项和为
成等差数列.

(1)求数列
的通项公式;

(2)数列满足
,求证:

20．（本小题满分14分）

已知点F1(－1，0)，F2(1，0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设直线l1：y＝kx＋m，l2：y＝kx－m，若l1，l2均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点M，点M到l1，l2的距离之积恒为1.若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数

，
.

（1）若曲线
与
在它们的交点
处有相同的切线，求实数
，
的值；

（2）当
时，若函数
在区间
内恰有两个零点，求实数
的取值范围；

（3）当
，
时，求函数
在区间
上的最小值．