五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考

高三年级数学（理）学科试题

命题学校：江西师大附中 命题人：郑永盛 审题人：蔡卫强

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
是的共轭复数，若
（是虚数单位），则
（ ）

A．
B．
C．
D． 2．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
3．已知命题：存在
，使得
；命题：对任意
，都有
，

则（ ）

A．命题“或”是假命题 B．命题“且”是真命题

C．命题“非”是假命题 D．命题“且‘非’”是真命题

4．已知为第二象限角，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一只蚂蚁从正方体
的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

6．某教研机构随机抽取某校
个班级,调查各班关注汉字听

写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为

将数据分组成
,
,
,
,
,
,

,
时,所作的频率分布直方图如图所示，则

原始茎叶图可能是（ ）

7．若如下框图所给的程序运行结果为
,那么判断框中应填入的关于
的条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知定义在区间
上的函数
满足
，对于函数
的图像上任意两点
都有
．若实数
满足
，则点
所在区域的面积为（ ）

A．
B． C． D．

9．已知直线

与圆
交于不同的两点、，
是坐标原点，且有
，那么
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点
自点开始沿弧
做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度
的图象大致为（ ）

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

11． (1) （不等式选做题）如果存在实数使不等式
成立，则实数的取值范围为____________.

(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
的焦点的极坐标___________.(规定：
)

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

12．设矩形区域是由直线
和
所围成的平面图形，区域是由余弦函数

和
所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域内的概率是___________.

13．已知曲线
与直线
交于点，若设曲线
在点处的切线与轴交点的横坐标为
，则
的值为___________．

14．已知平面向量
满足
，且
与
的夹角为
，
，则
的最小值是________________．

15．如图，
是双曲线
与椭圆
的公共焦点，点是
在第一象限的公共点．若
，则
的离心率是________．

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．设
时
取到最大值．

（1）求
的最大值及的值；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．

（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；

（2）设
为该参赛者此题的得分，求
的分布列与数学期望．

18.（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC—A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为 AC的中点O，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1。

（1）求证AC1⊥平面A1BC；

（2）求锐二面角A—A1B—C的余弦值。

19．（本小题满分12分）

数列
的前项和是
，且
.

⑴ 求数列
的通项公式；

⑵ 记
，数列
的前项和为
，证明：
.

20． （本小题满分13分）

已知点
在椭圆
上，过椭圆
的右焦点
的直线
与椭圆
交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若
是椭圆
经过原点
的弦，且
，
．试判断
是否为定值？若
为定值，请求出这个定值；若
不是定值，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）设
，若对任意
，恒有
成立，求的取值范围．

理科数学

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知
是的共轭复数，若
（是虚数单位），则
（ D ）

A．
B．
C．
D． 2．已知集合
，
，则
（ C ）

A．
B．
C．
D．
3．已知命题：存在
，使得
；命题：对任意
，都有
，

则（ D ）

A．命题“或”是假命题 B．命题“且”是真命题

C．命题“非”是假命题 D．命题“且‘非’”是真命题

4．已知为第二象限角，
，则
（ C ）

A．
B．
C．
D．

5．一只蚂蚁从正方体
的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ D ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

6．某教研机构随机抽取某校
个班级,调查各班关注汉字听

写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为

将数据分组成
,
,
,
,
,
,

,
时,所作的频率分布直方图如图所示，则

原始茎叶图可能是（ A ）

7．若如下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是（D）

A.
B.
C.
D.

8．已知定义在区间
上的函数
满足
，对于函数
的图像上任意两点
都有
．若实数
满足
，则点
所在区域的面积为（ A ）

A．
B． C． D．

9．已知直线

与圆
交于不同的两点、，
是坐标原点，且有
，那么
的取值范围是（ B ）

A.
B.
C.
D.

10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点
自点开始沿弧
做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度
的图象大致为（ B ）

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

11． (1) （不等式选做题）如果存在实数使不等式
成立，则实数的取值范围为_
___________.

(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
的焦点的极坐标___
________.(规定：
)

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

12．设矩形区域是由直线
和
所围成的平面图形，区域是由余弦函数

和
所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域内的概率是____
_______.

13．已知曲线
与直线
交于点，若设曲线
在点处的切线与轴交点的横坐标为
，则
的值为_______
____．

14．已知平面向量
满足
，且
与
的夹角为
，
，则
的最小值是_____
___________．

15．如图，
是双曲线
与椭圆
的公共焦点，点是
在第一象限的公共点．若
，则
的离心率是___
_____．

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．设
时
取到最大值．

（1）求
的最大值及的值；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，求
的值．

解：（1）依题

又
，则
，故当
即
时，

（2）由（1）知
，由
即
，又
，则