南京市中华中学2015届高三期初调研考试

第Ⅰ卷（必做题 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．复数
的模为 ．

2．已知全集
，函数
的定义域为集合A，函数
的定义域为集合B，则集合
．

3．
的值为 ．

4．已知命题p：
，使
；命题q：
，都有
．给出下列命题：（1）命题“
”是真命题；（2）命题“
”是假命题；（3）命题“
”是真命题；（4）命题“
”是假命题．其中正确的是 （填序号）．

5．右图的程序框图输出的结果S等于 ．

6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差
．

7．在△ABC中，
，
，
，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为 ．

8．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
．

9．已知向量
，
，
满足
，且
与
的夹角为
，
，则
与
的夹角为 ．

10．已知a，b，x是实数，函数
与函数
的图像不相交，记参数a，b所组成的点
的集合为A，则集合为A表示的平面图形的面积为 ．

11．已知数列
满足
，

，则
．

12．圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为 ．

13．定义在R上的奇函数
对任意
都有
，当
时，
，则
．

14．定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数
，
，
的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．

15．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求
的值；

（2）设
，若
，求
的值．

16． （本题满分14分）如图，在四棱锥
中，

为正三角形，
.

（1）求证：
；

（2）若
，
分别为线段
的中点，

求证：平面
平面
.

17．（本小题满分14分）

给定椭圆C：
(
)．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到点F的距离为
．

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，
，使得
，
与椭圆C都只有一个交点，试判断
，
是否垂直，并说明理由．

18．（本小题满分16分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）若建立函数
模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数
模型的基本要求，并分析函数
是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由；

（2）若该公司采用函数模型
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

19．（本小题满分16分）

设数列
的前n项和为
，且满足
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）在数列
的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列
；
和
两项之间插入n个数，使这
个数构成等差数列，求
的值；

（3）对于（2）中的数列
，若
，求
（用n表示）．

20．（本小题满分16分）

已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．

（1）当
时，求函数
的单调减区间；

（2）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；

（3）已知点
为曲线
上的动点，在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
，在点
处作曲线
的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．

A．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是
的一条直径，
是
上不同于
的两点，过
作
的切线与
的延长线相交于点
，
与
相交于
点，
．

（1）求证：
；

（2）求证：
是
的角平分线．

B．（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换

若二阶矩阵
满足
．

（1）求二阶矩阵
；

（2）把矩阵
所对应的变换作用在曲线
上，求所得曲线的方程．

C．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线E：
，过点
（
为锐角且
）作平行于

的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．

（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；

（2）求BC的长．

D．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
，
．

（1）解不等式：
；

（2）对于实数x，y，若
，
，求证：
．

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．

22．（本小题满分10分）

某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．

（1）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望；

（2）求李明在一年内领到驾照的概率．

23．（本小题满分10分）

已知点
，
，动点
满足
．

(1)求动点
的轨迹
的方程；

(2)在直线
：
上取一点
，过点
作轨迹
的两条切线，切点分别为
．问：是否存在点
，使得直线
//
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．
．

2．
．

3．
．

4．（2）（3）．

5．20．

6．9．

7．
．

8．4．

9．
．

10．
．

11．
．

12．
．

13．
．

14．
．

15．（1）
； （2）
．

16.（1）取BD的中点O，连结EO，CO，∵△ABC为正三角形，且CD=CB

∴CO⊥BD，EO⊥BD ………………4分

又
，∴BD⊥平面EOC，∵
平面

∴BD⊥EC. ………………7分

（2）∵N是AB中点，
为正三角形，∴DN⊥AB，

∵BC⊥AB，∴DN//BC，

∵BC
平面BCE DN
平面BCE，∴BC//平面BCE， ………………10分

∵M为AE中点，N为AB中点，∴MN//BE，

∵MN
平面BCE，BE
平面BCE，∴MN//平面BCE， ………………12分

∵MN
DN=N，∴平面MND//平面BCE. ………………14分

17．（1）
，
； （2）分两种情况讨论，略．

18．（1）不符合要求； （2）
，最小值为328．

19．（1）
； （2）
； （3）
．

20．(1)当
时，
. ……………2分

令f ((x)<0，解得
，所以f(x)的单调减区间为
． ……………4分

(2)
，由题意知
消去
，

得
有唯一解．……………………………6分

令
，则
，

所以
在区间
，
上是增函数，在
上是减函数，……………8分

又
，
，

故实数
的取值范围是
． ………………………10分

(3)设
，则点
处切线方程为
，

与曲线
：
联立方程组，得
，即
，

所以
点的横坐标
． ………………………………………12分

由题意知，
，
，

若存在常数
，使得
，则
，

即存在常数
，使得
，

所以
解得
，
． ……………………………15分

故
时，存在常数
，使
；
时，不存在常数
，使
．…16分

21．A．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°而BN=BM
△BNM为等腰三角形

BD为∠NBM的角平分线
∠DBC=∠DBM. ………………5分

（2）BM是⊙O的切线，

AM是∠CAB的角平分线. ………………10分

B．
；

C．曲线E：
，直线l：
；

D．（1）
； （2）略．

22．（1）分布列：

X

1

2

3

4



P

0.6

0.28

0.096

0.024




．

（2）0.9976．

23．(1)设
，则
，
，
，

由
，得
，化简得
.

故动点
的轨迹
的方程
. …………………………………5分

(2)直线
方程为
，设
，
，
．

过点
的切线方程设为
，代入
，得
，

由
，得
，所以过点
的切线方程为
，……7分

同理过点
的切线方程为
．所以直线MN的方程为
，………9分

又
//
，所以
，得
，而
，

故点
的坐标为
． …………………………………10分