揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考

数学（理）试题

一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)

1. 若集合
，
，则集合
不可能是（ ）

A． B．
C．
D．

2.若复数满足
，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）

A.
B. C.
D.

3.已知
且
，则“
”是 “>1”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费

用为：不超过
按
元/
收费，超过
的

部分按
元/
收费.相应收费系统的流程图如右图所

示，则①处应填（ ）

5.在△ABC中，
，
，则△ABC的面积为（ ）A.3 B.4 C.6 D.

6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．
B． C．
D．

7.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 设函数
的定义域为，若存在常数
，使
对一切实数均成立，则称
为“倍约束函数”．现给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
是定义在实数集上的奇函数，且对一切
，
均有
．其中是“倍约束函数”的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）

（一）必做题（9～13题）

9.不等式
的解集是 ．

10．若
则a3= .

11.若等比数列
的各项均为正数,且
,则
.

12.设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，点在椭圆
上，线段
的中点在轴上，若
，则椭圆的离心率为 .

13.设、满足约束条件
，若目标函数
的最大值为4，则
的最小值为 .

（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)

14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为
，则该圆的圆心到直线
的距离是 .

15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆
直径
的延

长线上，过作圆
的切线,切点为
若
,

则圆
的面积为 .

三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本题满分12分）设
,
,
（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
的最大值及取最大值时的集合；

（Ⅲ）求满足
且
的角的值．

（本题满分12分）

某市
四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学











人数













为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．

（Ⅰ）问
四所中学各抽取多少名学生？

（Ⅱ）在参加问卷调查的
名学生中，从来自
两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用
表示抽得中学的学生人数，求
的分布列，数学期望和方差．

18．(本题满分14分)

如图，在四棱锥
中，
//
，
，
，

平面
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设点
为线段
上一点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．

（本题满分1４分）

若数列
的前项和为
，对任意正整数都有
记
．

（Ⅰ）求
,
的值；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）令
，数列
的前项和为
，证明:对于任意的
,都有
．

20．（本题满分14分）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆的方程；

（Ⅲ）设点是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．

（本题满分14分）

设函数
，
；
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值；

（Ⅲ）求证：

理科数学参考答案

（Ⅱ）当
，即
时，
有最大值
，

此时，所求x的集合为
． ………9分

（Ⅲ）由
得
得
…10分

又由
得
， 故
，解得
． ……12分

17. 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为
．

∴应从
四所中学抽取的学生人数分别为
． ……… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
名学生中，来自
两所中学的学生人数分别为
．

依题意得，
的可能取值为
， …………5分

，
，
．… 8分





















∴
的分布列为：

… 10分

…… 12分

18．（Ⅰ）证明：因为
平面
，
，所以以为坐标原点，

所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
. …………2分

所以
，
，
，

所以
，

.

所以
，
. 4分

因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. …………………6分

（Ⅱ）解：设
（其中
），
，线
与平面
所成角为
.所以
. 所以
.

即

. ……………9分

由（Ⅰ）知平面
的一个法向量为
.

因为
， ……………12分

得
.

解得
.所以
. …………14分

法2：

(Ⅰ) 依题意：
∽
,

所以
，又因为
，

所以
，所以
…..2分

又因为
平面
，
，

所以
…..4分

因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………6分

（Ⅱ）解：设
（
），
，直线
与平面
所成角为
.

记
交
于
，连结
.过
作
平行于
，交
于. 连结
、
.

由（Ⅰ）知，
平面
，
平面
，

即为
与平面
所成角.
①. ……8分

设
（
），则
.

在
中，
，
，
.

易证
∽
，
，即
，

，
②.

在
中，
，
，
，

.

在
中，
，
，
.

根据余弦定理有：
， …………12分

即
，

解得
③.

将②，③代入①，解得
. ………14分

19解：（Ⅰ