揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考

数学（文）试题

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．若复数
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．以点
为圆心且与直线
相切的圆的方程是

A．
B．

C．
D．

5．已知平面向量
，
，且
，则

A．
B．
C．
D．

6．若某程序框图如图1所示，则输出的n的值是 ( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7．“
”是“
”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件 D．充要条件

8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

10．已知变量，满足约束条件
，目标函数
仅在点
处取得最小值，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.

(一)必做题(11～13题)

11． 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________

12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为
,已知
,
，
，则△ABC的面积为 .

13.当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为 .

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆
的圆心到直线
的距离是 .

15. （几何证明选讲选做题）如图,
是圆
的直径,点
在圆
上,延长
到使
,过
作圆
的切线交
于.若
,
则
_________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分12分)

已知函数
．

(1)求
的值；

(2)求函数
的最小正周期及单调递增区间．

17. (本题满分12分)

. 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（1）根据图中的数据信息，求出众数
和中位数
（精确到整数分钟）；

（2）小明的父亲上班离家的时间在上午
之间，而送报人每天在
时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率．

18．(本题满分14分)

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，
面
,
．

(1)求证：平
；

(2))若
，求四棱锥
的体积．

19．(本题满分14分)

已知正项数列
满足:
，数列
的前项和为
，且满足
，

．

(1) 求数列
和
的通项公式；

（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
．

20．(本题满分14分)

已知函数

（1）若
是
的极值点，求
的极大值；

（2）求实数的范围，使得
恒成立.

21．(本题满分14分)

已知抛物线
的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，
．

（1）求抛物线的方程；

（2) 设点
是抛物线上的两点，
的角平分线与轴垂直，求
的面积最大时直线
的方程．

文科数学答案

17.解：（1）
………………… 2分

由频率分布直方图可知
即
， ………………… 3分

∴
=0.5

解得
分即
………………… 6分

（2）设报纸送达时间为 ………………… 7分

则小明父亲上班前能取到报纸等价于

， ………………… 10分

如图可知，所求概率为

………………… 12分

18．证明：（1）由
是菱形

…………3分

由
是矩形

………………6分

（2）连接
，
由
是菱形，

由
面
,

，……………………10分

则
为四棱锥
的高

由
是菱形，
，则
为等边三角形，

由
；则

，
……14分

19．解：（1）由
,得
. …………2分

由于
是正项数列,所以
. …………-3分

由
可得当
时，
，两式相减得
， …………5分

∴数列
是首项为1，公比
的等比数列，
…………7分

（2）方法一：∵
…………8分

∴

…………11分

…………14分

方法二：∵
…………11分

…………14分

20．解：（1）

是
的极值点
解得
…………2分

当
时，

当变化时，

(0,1)

1

(1,3)

3







+

0

-

0

+





递增

极大值

递减

极小值

递增



…………4分

的极大值为
…………6分

（2）要使得
恒成立，即
时，
恒成立………8分

设
，则

（ⅰ）当
时，由
得单减区间为
，由
得单增区间为

，得
…………10分

（ii）当
时，由
得单减区间为
，由
得单增区间为
，
不合题意. …………10分

（iii）当
时，
在
上单增，
不合题意. …12分

（iv）当a>1时，由
得单减区间为
，由
得单增区间为
，
不合题意. …………13分

综上所述：
时，
恒成立. …………14分

21．解：（1）设
，因为
，由抛物线的定义得
，又
，3分

因此
，解得
，从而抛物线的方程为
． …………6分

（2）由（1）知点的坐标为
，因为
的角平分线与轴垂直，所以可知
的倾斜角互补，即
的斜率互为相反数

设直线
的斜率为，则
，由题意
， …………7分

把
代入抛物线方程得
，该方程的解为4、
，

由韦达定理得
，即
，同理
，

所以
， …………9分

设
，把
代入抛物线方程得
，

由题意
，且
，从而