海珠区2014学年高三综合测试（一）试题

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
,则

A．
B．
C．
D．

2．设复数
，
在复平面内的对应点关于实轴对称，
，则

A.
B.
　　　 C.
D.

3．已知m，n表示两条不同直线，
表示平面，下列说法正确的是

A．若
则
　　 B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

4．设等比数列
的前n项和为
，若
则

A．31 B．32 C．63 D．64

5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是

A．
B．
C．
D．

由不等式
确定的平面区域记为
，不等式
确定的平面区域记为
，在
中随机取一点，则该点恰好在
内的概率为

A．
B．
　 C．
D．

7．已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点
是两曲线的一个交点，且
轴，则双曲线的离心率为

A．
B．
　　C．
D．

8．已知菱形
的边长为
，
，点
分别在边
上，

.若
，
，则

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．
的展开式中，
的系数为
，则

．(用数字填写答案)

10．已知某程序框图如图，若分别输入的　　

的值为
，执行该程序后，输　

出的
的值分别为
，则　

．

11．在
中，角
所对边分别

为
，且
，面积
，则
= ．

12．图中阴影部分的面积等于 ．

13．如图,对大于或等于
的正整数
的
次　

幂进行如下方式的“分裂” (其中
)

例如
的“分裂”中最小的数是
,最大的　

数是
；若
的“分裂”中最小的数是
,

则最大的数是 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点
的极坐标为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）．则点
到曲线
上的点的距离的最小值为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，过⊙
外一点
分别作圆的切线和割线交圆于
，且
，
是圆上一点使得
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分
分)

已知函数
，
.

（1）求
的单调递减区间；

（2）若
，
，求
．

17．( 本小题满分12分)

为增强市民的环保意思，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的
名志愿者中随机抽取
名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄（岁）分成五组:第
组
,第
组
,第
组
,第
组
,第
组
.得到的频率分布直方图(局部)如图所示.

（1）求第
组的频率,并在图中补画直方图；

（2）在抽出的
名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取
名参加中心广场的宣

传活动,再从这
名志愿者中采用简单随机抽样方法选取
名志愿者担任主要负责人.记这
名志愿者中“年龄低于
岁”的人数为
,求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥
中，底面
为正方形，
，
平面
，

为棱
的中点．

（1）求证：
// 平面
；

（2）求证：平面
平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知公差不为0的等差数列
的前
项和为
，若
,且
成等比数列.（1）求数列
的通项公式；

（2）
，证明:对一切正整数
,有
．

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于
，设点
的轨迹为曲线
，直线
过点
且与曲线
交于
，
两点．

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数
的图象在点
（
为自然对数的底数）处的切线斜率为
．

（1）求实数
的值；

（2）若
不等式
在
上恒成立，求
的最大值；

（3）当
时，证明:
．