河南省平顶山市第一高级中学2014届高三上学期

第二次月考数学文试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜x＜m}且A∪B＝R，那么m的值可以是

A．0 B．1 C．2 D．3

2．复数z＝
（i是虚数单位）在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．PM2.5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒

物，也称为可入肺颗粒物．右图是据某地某日早

7点至晚8点甲、乙两个PM2．5监测点统计的数

据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则

甲、乙两地浓度的方差较小的是

A．甲 B．乙

C．甲乙相等 D．无法确定

4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积

为

A．3
B．9

C．6
D．18

5．已知曲线y＝
－3lnx的一条切线的斜率

为2，则切点的横坐标为

A．3 B．2

C．1 D．

6．已知各项不为0的等差数列{
}满足a4－
＋a10＝0，数列{
}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于

A．1 B．2 C．4 D．8

7．若sin（
－α）＝
，则cos（
＋2α）＝

A．－
B．－
C．
D．

8．已知抛物线
＝2px（p>0），过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2

9．设函数f（x）＝
sin（2x＋）＋cos（2x＋）（｜｜＜
），且其图象关于直线

x＝0对称，则

A．y＝f（x）的最小正周期为π，且在（0，
）上为增函数

B．y＝f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为增函数

C．y＝f（x）的最小正周期为π，且在（0，
）上为减函数

D．y＝f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为减函数

10．双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

11．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，｜ta－b｜的最小值是

A．0 B．
C．
D．1

12．定义在R上的函数f（x）＝
＋
＋cx（a≠0）的单调增区间为（－1，1），若方程
＋
＋c＝0恰有4个不同的实根，则实数a的值为

A．
B．－
C．1 D．－1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－24题为选考题。考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设x，y满足约束条件
则z＝x－y的取

值范围为________________．

14．执行右面的程序框图，若输出的S＝
，则输入的

整数p的值为______________．

15．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AA1＝2，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于__________．

16．整数数列{
}满足
＝
－
（n∈N﹡），若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝Asin（2x＋）（A＞0，0＜＜π），当x＝－
时取得最小值－4．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若等差数列{
}前n项和为
，且
＝f（0），
＝f（
），求数列{
}的前n项和
.

18．（本小题满分12分）

郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车．为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：

（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；

（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．

19．（本小题满分12分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，

AB＝1，AA1＝
，D为AA1的中点，BD与

AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．

（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC＝OA，求三棱锥C1－ABC的体积．

20．（本小题满分12分）

已知△ABC的两顶点坐标A（－1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，

BC，AB上的切点分别为P，Q，R，｜CP｜＝1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），

动点C的轨迹为曲线M．

（Ⅰ）求曲线M的方程；

（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当

点A在以线段CD为直径的圆上时，求直

线BC的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝
．

（Ⅰ）当k＝e时，求函数h（x）＝f（x）－g（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长

线上．

（Ⅰ）若
＝
，
＝1，求
的值；

（Ⅱ）若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．

（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为
的直线l交曲线C1于A，B两点，求｜AB｜．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f（x）＝｜x－4｜＋｜x－a｜（a＜4）．

（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；

（Ⅱ）求不等式f（x）≥3－x的解集．

河南省平顶山市第一高级中学2014届高三上学期第二次月考数学文试卷参考答案

选择题

DDABA CACCB CB

填空题

13.
； 14.
； 15.
； 16.
.

三、解答题

17.解（1）由题意
时取得最小值-4，

，
，

又因为
，
所以
………………… 4分

（2）因为
，
，所以
，

设等差数列公差为
，则
，
………………………8分

………………………………12分

18.解：(1)从45候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为
，

则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为
人.……………………4分

(2)记第四组的3人为
,第五组的2个人为
,则从这5人中随机抽取2人的不同结果

共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，………………………10分

则抽到的2人恰好来自不同组的概率
.………………………………12分

19.解：(1)证明：由题意

且
,

,所以
,……………………3分

又
侧面
，
,

又
与
交于点
，所以
,

又因为
,所以
. ………………………………………6分

（2）因为

且
平面

. …………12分

20.⑴解：由题知

所以曲线
是以
为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），

设曲线
：
，

则
，

所以曲线
：
为所求.---------------4分

⑵解：注意到直线
的斜率不为
，且过定点
，

设
，

由

消得
，

所以
，

所以
-------------------------------------8分

因为
,所以

注意到点在以
为直径的圆上,所以
,即
,-----11分

所以直线
的方程
或
为所求.------12分

21.⑴解:注意到函数
的定义域为
,

,

当
时,
,-------------------2分

若
,则
;若
,则
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数,

故
,

故函数
的减区间为
,增区间为
,极小值为
,无极大值.---5分

⑵解:由⑴知
,

当
时,
对
恒成立,所以
是
上的增函数,

注意到
,所以
时,
不合题意.-------7分

当
时,若
,
;若
,
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数,

故只需
. --------9分

令
,

,

当
时,
; 当
时,
.

所以
是
上的增函数,是
上的减函数.

故
当且仅当
时等号成立.

所以当且仅当
时,
成立,即
为所求. --------12分

22.解：⑴
四点共圆，

，又
为公共角，

∴
∽
∴

∴
.

∴
. ……………………………………………………………… 6分

⑵
，
，

又
，
∽
，

，

又
四点共圆，
，
，

.…………………………………………………… 10分

23.解：⑴

曲线
为圆心是
，半径是1的圆．

曲线
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．

……4分

⑵曲线
的左顶点为
，则直线
的参数方程为
（为参数）

将其代入曲线
整理可得：
，设
对应参数分别为
，

则

所以
. ……………………………10分

24.解：⑴因为

因为
,所以当且仅当
时等号成立,故

为所求.……………………4分

⑵不等式