南洋高中2015届高三第一次诊断性考试

数 学 试 卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

已知A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B＝________．

设命题p：α＝，命题q：sinα＝cosα，则p是q的___________条件．

已知i为虚数单位，则复数的模等于________．

函数y＝2sin(x＋)＋cos(－x)的最大值为_________．

设函数f (x)＝，若f (a)＝a，则实数a的值是__________．

阅读下列程序，输出的结果是______．

有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．

设a∈R，函数f (x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．

已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n为正数)，若a⊥b，则＋的最小值是________．

设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝__________．

设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|a－i|＋|a－2j|＝，则|a＋2i|的取值范围是___________．

已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则a5＋b5＝__________．

已知函数f (x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f (x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为__________．

点M是椭圆(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是__________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

【本题14分】已知向量a＝(sinθ,1)，b＝(cosθ,)，且a∥b，其中θ∈(0,)．（1）求θ的值；（2）若sin(x－θ)＝，0＜x＜，求cosx的值.

【本题14分】如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE(AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．（1）求证：BD(CE；（2）求证：PQ∥平面ABCD．

【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

【本题16分】若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程； （2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标； （3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点，若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

【本题16分】已知函数
，
，
图象与轴异于原点的交点M处的切线为
，
与轴的交点N处的切线为
， 并且
与
平行.（1）求
的值； （2）已知实数t∈R，求函数
的最小值；（3）令
，给定
，对于两个大于1的正数
，存在实数满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.

【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列．（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn；（3）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（1）中的Sn，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值．

高三第一次考试数学答题纸

填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）

1．_____________ 2．____________ 3．____________ 4．____________5．_____________ 6．____________ 7．____________ 8．____________9．_____________ 10．___________ 11．___________ 12．___________13．____________ 14．___________

解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．

16．

17．

18．

19．

20．

高三数学（理科）加试题

参考公式：

21.

B. 选修4 - 2：矩阵与变换

求矩阵A＝的逆矩阵.

C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为
（为参数，
）.求曲线C的普通方程。

22.（本题满分10分）在平面直角坐标系
中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点
的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为
，求
关于的表达式。

23. （本题满分10分）对于正整数≥2，用
表示关于的一元二次方程
有实数根的有序数组
的组数，其中
（和
可以相等）；对于随机选取的
（和
可以相等），记
为关于的一元二次方程
有实数根的概率。（1）求
和
；（2）求证：对任意正整数≥2，有
.

高三数学附加题答题纸

参考公式：

B. 选修4 - 2：矩阵与变换

C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

22.

23. 

高三数学答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

已知A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B＝________． {2,4}

设命题p：α＝，命题q：sinα＝cosα，则p是q的__________条件． 充分不必要

已知i为虚数单位，则复数的模等于________． 1

函数y＝2sin(x＋)＋cos(－x)的最大值为_________． 

设函数f (x)＝，若f (a)＝a，则实数a的值是__________． －1

阅读下列程序，输出的结果是______． 10

有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______． 

设a∈R，函数f (x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________． ln2

已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n为正数)，若a⊥b，则＋的最小值是_____．3＋2

设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝__________． 

设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|a－i|＋|a－2j|＝，则|a＋2i|的取值范围是___________． [,3]

已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则a5＋b5＝__________． 91

已知函数f (x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f (x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为__________．{4}

点M是椭圆(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是__________．(,)

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

【本题14分】已知向量a＝(sinθ,1)，b＝(cosθ,)，且a∥b，其中θ∈(0,)．（1）求θ的值；（2）若sin(ω－θ)＝，0＜ω＜，求cosω的值.

解：（1）∵a＝(sinθ,1)，b＝(cosθ,)，且a∥b，∴sinθ－cosθ＝0 ······················3分∴tanθ＝，∵θ∈(0,) ∴θ＝ ······················6分（2）∵0＜ω＜∴－＜ω－＜∵sin(ω－)＝，∴cos(ω－)＝，·············10分∴cosω＝cos(ω－＋)＝cos(ω－)cos－sin(ω－)sin＝×－×＝． ······················14分

【本题14分】如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE(AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．（1）求证：BD(CE；（2）求证：PQ∥平面ABCD．

【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

解：（1）设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40． 则日销售量为件．售价为x元时，每件利润为(x－30－a)元，则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40· (35≤x≤41) ························5(（2）L((x)＝10e40·． ························7(①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，∴L((x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数．则当x＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e5． ························9(②当4＜a≤5时，35＜31＋a≤36，令L((x)＝0，得x＝a＋31．当x∈[35,a＋31)时，L((x)＞0，L(x)在[35,a＋31)上是单调递增函数； 当x∈(a＋31,41]时，L((x)＜0，L(x)在(a＋31,41]上是单调递减函数． ∴当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为10e9?a． ························13(综上，当2≤a≤4时，L(x)max＝10(5－a)e5． 当4＜a≤5时，L(x)max＝10e9?a． ··················14(

【本题16分】若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程； （2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标； （3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点，若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

解：（1）∵·················∴椭圆C的方程为： ························4( （2）设Q(x,y)，－5≤x≤5∴|MQ|2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋16－x2＝x2－4x＋20∵对称轴x＝＞5∴当x＝5时，|MQ|2达到最小值，∴当|MQ|最小时，Q的坐标为(5,0) ························8(（3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(m,0)(－5≤m≤5)，直线l：y＝k(x－m)由得x1＋x2＝，x1x2＝－， ························10(∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝························12(∴|PA|2＋|PB|2＝(x1－m)2＋＋(x2－m)2＋＝(x1＋x2)2－2x1x2－2a(x1＋x2)＋(y1＋y2)2－2y1y2－2y1y2＋2a2＝(k2＋1)·∵|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关∴512－800k2＝0∴k＝±． ························16(

【本题16分】已知函数
，
，
图象与轴异于原点的交点M处的切线为
，
与轴的交点N处的切线为
， 并且
与
平行.（1）求
的值； （2）已知实数t∈R，求函数
的最小值；（3）令
，给定
，对于两个大于1的正数
，存在实数满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.

解: （1）
图象与轴异于原点的交点
，

图象与轴的交点
，
由题意可得
，即
， ………………2分∴
，
………………4分（2）
=
 …………………5分令
，在
时，
，∴
在
单调递增，
…………6分
图象的对称轴
，抛物线开口向上①当
即
时，
　………………7分②当
即
时，
…8分③当
即
时，
……………9分
,

，所以
在区间
上单调递增 　　…………………10分∴
时，
①当
时，有
，
，得
，同理
，　　……………………１1分∴ 由
的单调性知

、
从而有
，符合题设. …12分②当
时，
，
，由
的单调性知

，∴
，与题设不符 ………14分③当
时，同理可得
，得
，与题设不符. ……15分∴综合①、②、③得
…………16分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.

【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列．（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn；（3）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（1）中的Sn，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值．

解：（1）由题意知a(m,n)＝1＋(n－1)dm．∴a(2,n)－a(1,n)＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)，同理，a(3,n)－a(2,n)＝(n－1)(d3－d2)，a(4,n)－a(3,n)＝(n－1)(d4－d3)，…，a(n,n)－a(n－1,n)＝(n－1)(dn－dn－1)．又∵a(1,n), a(2,n), a(