江苏省兴化市2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学试卷

（考试用时：120分钟 总分：160分）

注意事项：

1．所有答案均在答题卡上完成，答案写在试卷上的无效．

2．注意第9、12、19三题文理科不同．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合
，集合
，则
= ▲ ．

2.设向量
满足：
则向量
的夹角为 ▲ ．

3.若
，试比较
大小 ▲ ．

4.已知函数
是奇函数，且当
时，
，则当
时，
的

解析式为 ▲ .

5.计算：
= ▲ .

6. 在
，已知
，则
的大小为 ▲ ．

7. 已知函数
,则函数
的值域为 ▲ ．

8. 已知函数
在
上有三个零点，则实数的取值范围

是 ▲ ．

9. (理科)已知集合
,
, 若, 则实数
的取值范围是__________ ▲__________．

（文科）集合
，
,

则集合
的所有元素之和为 ▲ ．

10. 曲线
和
在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积

是 ▲ .

11. 在
中，
设
是
的内心，若
，

则
▲ ．

12. （理科）已知函数
在
上为减函数，则实数的取值范围是 ▲ ．

（文科）已知函数
正项等比数列
满足
，则

▲ .

13.设实数
满足
则
的取值范围是 ▲ ．

14. 已知
，则
的最大值与最小值的乘积为 ▲ ．

二、解答题（本题共6小题，共90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）在
中，角
所对的边分别为
．已知
，

，
．

(1)求
的大小；

（2）若
，
，求
的面积．

16．（本小题满分14分）

（1）解不等式：
；

（2）已知集合
，
．

若
，求实数的取值组成的集合．

17．（本小题满分15分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，须另投入2.7万元。设该公司年内共生产品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且

（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

18．（本小题满分15分）

设函数

当
时，证明：函数
不是奇函数；

设函数
是奇函数，求与
的值；

在（2）的条件下，判断并证明函数
的单调性，并求不等式
的解集．

19．（本小题满分16分）

(理科)已知函数

（1）若存在
，使不等式
成立，求实数的取值范围；

（2）设
，证明:

（文科）已知数列
的前项的和为
，点
（
）在函数
的图象上．

（1）求数列
的通项公式及
的最大值；

（2）令
，求数列
的前项的和；

（3）设
，数列
的前项的和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数
的值．

20．（本小题满分16分）

设函数

其中实数
．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）当函数
与
的图象只有一个公共点且
存在最小值时，记
的最小值为
，求
的值域；

（3）若
与
在区间
内均为增函数，求的取值范围．

2013-2014学年第一学期期中高三年级

数学试卷参考答案

(考试用时：120分钟 满分160分)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合
，集合
，则
= ▲ ．

2.设向量
满足：
则向量
的夹角为 ．

3.若
，试比较
大小 ▲ ．

4.已知函数
是奇函数，且当
时，
，则当
时，
的

解析式为 ．

5.计算：
= ．

6. 在
，已知
，则
的大小为 ▲ ．

7. 已知函数
,则函数
的值域为 .

8. 已知函数
在
上有三个零点，则实数的取值范围是

9. (理科)已知集合
,
, 若, 则实数
的取值范围是____________________

解析:(0, 4)

（文科）集合
，
,

则集合
的所有元素之和为

解析:225

10. 曲线
和
在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是
.

11. 在
中，
设
是
的内心，若
，

则
．

12. （理科）已知函数
在
上为减函数，则实数的取值范围是 ．

（文科）已知函数
正项等比数列
满足
，则

．

13.设实数
满足
则
的取值范围是
．

14. 已知
，则
的最大值与最小值的乘积为 。

．解析：
而
，

所以

当
时，

当
时，

因此

二、解答题（本题共6小题，共90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）在
中，角
所对的边分别为
．已知
，

，
．

(1) 求
的大小;

（2）若
，
，求
的面积.

解析：（1）由
可知，
， ………4分

因为
，所以
,所以
，即
……8分

(2)由正弦定理可知：
，所以
，因为

所以
，所以
……………………12分

所以
……………………14分

16．（本小题满分14分）

（1）解不等式：
；

（2）已知集合
，
．

若
，求实数的取值组成的集合．

解：（1）
………………2分

…………6分

综上：
…………………………7分

（2）
，
， …………………………………9分

， ……………13分

所以实数的取值组成的集合为
． …………………14分

17．（本小题满分15分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，须另投入2.7万元。设该公司年内共生产品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且

（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

解 （1）当
时，
；

当
时，
，

…………………………………6分

（2）①当
时，
，得
，

当
时，
；当
时，
，

所以当
时，
取得最大值，且
；………9分

②当
时，
，

当且仅当
时，
，故当
时，
取最大值38。 ………12分

综合①②知，当
时，
取得最大值．

所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大………15分

18．（本小题满分15分）

设函数

当
时，证明：函数
不是奇函数；

设函数
是奇函数，求与
的值；

在（2）的条件下，判断并证明函数
的单调性，并求不等式
的解集。

解析：（1）当
时，

所以
，

所以
，从而
不是奇函数。 ………………………4分

（2）由函数
是奇函数，得
，

即

对定义域内任意实数都成立，化简整理得

，它对定义域内任意实数都成立，

所以
所以
或

经检验
符合题意． ………………………9分

（3）由（2）可知
由

易判断
为
上的减函数。证明略（定义法或导数法）

由
，不等式
即为
，由
为
上的减函数

可得

或者由
即
，

所以
所以
………………………15分

19．（本小题满分16分）

(理科)已知函数

（1）若存在
，使不等式
成立，求实数的取值范围；

（2）设
，证明:

解析：

（1）由
变形为

令

，

故当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，