一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，则
等于（ ）

A．　
　 B．　
　　　　

C．
　　　 D．

2.若
为纯虚数，则实数的值为　( )

A．0　　 　B．
　　　　 C．1　　　　D．

3. 若命题
对于任意
有
，则对命题的否定是( )

A．对于任意
　有
　　

B．存在
使
　

C．对于任意
有

D．存在
使

4.已知
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
或
D．

5．已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．执行如图1所示的程序框图．若
，则输出的值是（　　）

A．
B.
C．
D．

7．设变量x，y满足
的最大值为（　　）

A．3 B．8 C．
D．

8. 已知函数
若数列
满足
，且
是递

增数列，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设F
、F
分别是双曲线C：
的左,右焦点，过F
的直线与双曲线的左支相交

于A、B两点，且△
是以
为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为

，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，

两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系分别记为
，定义函数

对于函数
，下列结论正确的个数是（ ）

①
；

②函数
的图象关于直线
对称；

③函数
值域为
；

④函数
增区间为
． 第10题图

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．

11.若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，

则
______.

12.如右图，在
中，
，
，
，点在
，

且
,则
　　　　．

13.已知抛物线
的焦点为，过点，且斜率为
的直线交抛物线于A, B两点，其

中第一象限内的交点为A，则
．

14．定义在R上的奇函数
满足：当
时，
，则在R上，函数

零点的个数为 .

15．若不等式
对任意
恒成立，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△
中,角
所对的边分别为
,满足
,
.

⑴求角
的大小;

⑵求△ABC面积的最大值.

17．（本小题满分12分）

设

⑴当
时，求
的单调区间；

⑵若
在
上单调递增，求的取值范围．

19. （本小题满分12分）

如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

⑴求证：平面EFG⊥平面PAD；

⑵若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

20．（本小题满分13分）

单调递增数列
的前项和为
，满足
，

⑴求
，并求数列
的通项公式；

⑵设
，求数列
的前
项和
．

21．（本小题满分14分）

已知两点
及
，点在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，

． 求四边形
面积
的最大值．

数学试题（文）参考答案

∴
∴
(6分）

（2）∵
∴
（8分）

∴
（10分）∴
　（12分）

17．（1）
　，
　　（

（2分）

令

令
（5分）

所以
在
单调递减，在
上单调递增 （6分）

（2）
（8分）

由
，又
，

所以

（10分）

由

所以

得
（12分）

17．解析（Ⅰ）频率分布表：

频率分布直方图：

幸福指数评分值

频数

频率



[50，60]

1

0.05



(60，70)

6

0.30



(70，80)

8

0.40



(80，90)

3

0.15



(90，100)

2

0.10



（3分） （6分）

（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A1，A2，A3，（90，100]的2人分别是B1，B2，则全部基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2）共10个，（9分）

其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．（11分）

故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率
． 12分

19.解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD…………………….（3分）

又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD

∵EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；……………….（6分）

（2）∵EF∥CD，EF平面EFG，CD平面EFG，

∴CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，

∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，（8分）

取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，

∵EF⊥平面PAD，EH平面PAD，∴EF⊥EH

于是S△EFH=
EF×EH=2=S△EFG，

∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形

∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为
，…（10分）

因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=
×S△EFG×
=
．…（12分）

20．（1）
时，
　得
（2分）

当
时，

得

化为

或
　（
） （4分）

又因为
单调递增数列，故

所以
是首项是1，公差为1的等差数列，
（6分）

（2）

＝

＝

＝
……………………13分

21. 解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．（2分）

又
，
．

椭圆
的方程为
． （4分）

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，

得
． （5分）

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
， （8分）

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

，

，（10分）

，当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
． （14分）

（法二）
，

．

．

四边形
的面积

， （10分）

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．（14分）