一、选择题（本大题共10小题。每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷的相应位置上）

1.若复数
是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为（ ）

A. 6 　　 B. -6 　 C．3 　　　　 D. -3

2. 设全集U＝R，A＝{x｜
＜2}，

B＝{x｜
}，

则右图中阴影部分表示的集合为( )

A.{x｜1≤x＜2}　　　 B.{x｜x≥1}　　　

C.{x｜0＜x≤1}　　　 D.{x｜x≤1}

3．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图

如图所示，则其侧视图的面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

4. 一算法的程序框图如右图所示，若输出的
，

则输入的可能为（ 　）

A.
B.

C.或
D.
或

5.若
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

6. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、

大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学

(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘

同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年

级的乘坐方式共有（ 　）

A．24种 B．18种 C．48种 D．36种

7.函数
的所有零点之和等于（ ）

A． 2 B． 4 C．6 D． 8

8．设函数
的定义域为，若存在闭区间
，使得函数
满足：①

在
上是单调函数；②
在
上的值域是
，则称区间
是函

数
的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）

A．函数
存在“和谐区间”

B．函数
不存在“和谐区间”

C．函数
存在“和谐区间”

D．函数
不存在“和谐区间”

9. 三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点是椭圆的一个短轴端点，

如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是

（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义空间两个向量的一种运算
，则关于空间向量上述运算的以下结论中：

①
； ②
；

③
；④若
，则
。恒成立的有（ ）

A．①③ B.①④ C.②③ D.②④

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上）

11．观察下列不等式：①
；②
；③
；…

则第
个不等式为 ．

12.　已知在平面直角坐标系
上的区域由不等式组
确定，若
为区域上的动点，点的坐标为
，则
的最大值为 .

13．对任意正整数，定义的双阶乘
如下：

当为偶数时，
；当为奇数时，
`。现有四个命题：①
；②
；③
个位数为0； ④
个位数为5。其中正确命题的序号有______________.

14．设等差数列
满足：
，公差
. 若当且仅当
时，数列
的前项和
取得最大值，则首项
的取值范围是 .

15. 选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分）

(1)（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，圆
的参数方程为

为参数，
．以
为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，

直线
的极坐标方程为
．当圆
上的点到直线
的最大距离为时，圆的半径

．

(2)（不等式选讲选做题）对于任意实数，不等式
恒成立时，若实数的

最大值为3，则实数的值为 ．

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卷相应题目的答题区域内作答)

16．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，以
轴为始边做两个锐角,
，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为
．

（Ⅰ）求tan(
)的值；

（Ⅱ）求
的值．

17．（本小题满分12分）

某企业招聘工作人员，设置、、
三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊

五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已

知甲、乙两人各自通过测试的概率均为
，丙、丁两人各自通过测试的概率均为
．戊参加

组测试，
组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题

则竞聘成功.

（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；

（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；

（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为
，求
的分布列和期望.

18．（本小题满分12分）

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．

（Ⅰ）求公差d的值；

（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{
}的前n项和，求使不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
∥
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若
为棱
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）若二面角
大小为30°，求
的长 ．

20．（本小题满分13分）

如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．

设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，

线段AB的中点M在直线l上．

（Ⅰ） 求椭圆C的方程；

（Ⅱ） 求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知实数
，函数
.

（1）当
时，求
的最小值;

（2）当
时,判断
的单调性,并说明理由；

（3）求实数的范围，使得对于区间
上的任意三个实数
，都存在以
为边长的三角形.

参考答案

（Ⅱ）
，所以

∵
为锐角，∴
，∴
=
-------------------12分

17．解： (I) 设戊竞聘成功为A事件，则

…………3分

（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件

…………6分

（Ⅲ）
可取0，1，2，3，4

0

1

2

3

4



P














…………12分

18．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分

∴
=
．…………………………………………6分

∴ Tn=

=

=
≥
，…………………………………………8分

又∵ 不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立，

∴
≥
，…………………………………………10分

化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．

∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分

19． （Ⅰ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ． ……………………1分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………2分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………3分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………4分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD． ……1分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ………2分

∵ PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PBQ． ……………3分

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． …………4分

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD． …………5分

（注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则
，
，
，
，

∵M是PC中点，∴
…………6分

∴

设异面直线AP与BM所成角为

则

=
…………7分

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为
…………8分，

（注：用传统方法相应给分，找角2分，求解2分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为
…………9分

由
，且
，得
……10分

又
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………11分

∵二面角M-BQ-C为30°， ∴
，

∴
．∴

……………12分

（注：用其它方法相应给分）

20、解：（Ⅰ）设F2（c，0），则
=
，所以c=1．

因为离心率e=
，所以a=
，所以b=1

所以椭圆C的方程为
．----------------------4分

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣
，

此时P（
，0）、Q（
，0），
．------6分

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，

M（﹣
，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由
得（x1+x2）+2（y1+y2）
=0，

则﹣1+4mk=0，∴k=
．-----------------------------------8分

此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为
，

即y=﹣4mx﹣m．

联立
消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

所以
，
． -------------------------10分

于是
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=

=
=
．

令t=1+32m2，由
得1＜t＜29，则
．

又1＜t＜29，所以
．

综上，
的取值范围为[﹣1，
）．-------------------------------13分

21、解：易知
的定义域为
，且
为偶函数.

（1）
时,

时
最小值为2. ----------------------------------3分

（2）
时,

时，
递增；
时，
递减； --------------------5分

为偶函数.所以只对
时，说明
递增.

设
，所以
，得

所以