一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1.函数
的最小正周期为 .

2.已知复数满足
（为虚数单位），则的模为 .

3.抛物线
的准线方程是　　▲　　．y=-1

4．集合
　　▲　　．{1，2，3}

5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值

为 ▲ .21

6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 5

7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 

8．已知点P (x，y) 满足条件
y的最大值为8，则
.-6

9.在平行四边形ABCD中, AD = 1,
, E为CD的中点.若
, 则AB的长为 .

10.已知正四面体的棱长为
，则它的外接球的表面积的值为　　▲　　．3

11．已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
则不等式
的解集是__________．

12．如图，在平面直角坐标系x O y中，点A为椭圆E ：
的左顶点，B、C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于 ▲ ．

13．已知实数
满足
，则
的最大值为 ▲ ．4

14．数列
满足
,其中为常数．若实数使得数列
为等差数列或等比数列，数列
的前项和为
，则满足
▲ ．10

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．(本题满分14分)

如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为
,
的终边在第一象限且与单位圆的交点
的纵坐标为
.

⑴求
的值；

⑵若
,
,求
.

解：⑴由三角函数的定义知

∴
.又由三角函数线知
,

16. （本题满分14分）

如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.

（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；

（2）求四面体PCEF的体积.

【证明】（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，

所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分

同理可证∠APD=45°.

所以∠DPC=90°，即PC⊥PD. …………………………3分

又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分

因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分

又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分

17．(本题满分14分)已知直线
所经过的定点恰好是椭圆
的一个焦点,且椭圆
上的点到点的最大距离为8.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知圆
,直线
.试证明当点
在椭圆
上运动时,直线
与圆
恒相交；并求直线
被圆
所截得的弦长的取值范围.

解: （1）由
,

得
,则由
, 解得F（3,0）…………… 2分

设椭圆
的方程为
, 则
,解得

所以椭圆
的方程为
.…………… 6分

（2）因为点
在椭圆
上运动,所以
,…………… 8分

从而圆心
到直线
的距离
.

所以直线
与圆
恒相交, …………… 10分

又直线
被圆
截得的弦长为

……… 12分

由于
,所以
,则
,

即直线
被圆
截得的弦长的取值范围是
…………… 14分

18．（本题满分16分）

如图，直角三角形ABC中，∠B＝
，AB＝1，BC＝
．点M,N分别在边AB和AC

上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△
MN，使顶点
落

在边BC上(
点和B点不重合).设∠AMN＝．

(1) 用表示线段
的长度，并写出的取值范围；

(2) 求线段
长度的最小值．

解：（1）设
，则
．…………2分

在Rt△MB
中，
，…………4分

∴
．…………5分

∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，∴
． …7分

19．设函数
（
），
．

(1) 若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求的值；

(2) 关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）因为
，所以
，令

得：
，此时
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

则点
到直线
的距离为
，

即
，解之得
．　　　　　　　　　　　…………4分

（3）设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时，
取得最小值
，

则
与
的图象在
处有公共点
．　　　　　　　…………12分

设
与
存在 “分界线”，方程为
，

20．（本小题满分16分）设等比数列
的首项为
，公比为（为正整数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足
（
）.

（1）求数列
的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列
为等差数列；

（3）当
为等差数列时，对每个正整数
，在
与
之间插入
个2，得到一个新数列
. 设
是数列
的前项和，试求满足
的所有正整数.

20解：（1）


………………………………………………………4分

（2）

得
，所以

则由
，得
……………………………………………………7分

当
时，
，由
，所以数列
为等差数列………9分

（3）因为
，可得
不合题意，
合题意…………11分

当
时，若后添入的数
，则一定不符合题意，从而
必是数列

中的一项
，则（2+2
+…………+2
）+(
…………
)=

即
………………………………………………………………13分

记

则
，1+2+2
+…………+2
=
，

所以当
时，
=1+2+2
+…………+2
+1
>1+2
,又

则由
…………15分

综上可知，满足题意的正整数仅有
.…………………………………………16分