湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试

数 学 试 卷（理 科）

命题人： 武汉中学 审题人：武汉四中

考试时间：8月10日 14:00-16:00 本卷满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 . i为虚数单位，
, 则的共轭复数为 ( )

A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i

2．若二项式
的展开式中的常数项为70，则实数a可以为( )

A．2 B．
C． D．

3．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( )

3 B. 4

C. 5 D. 6

4. .直线
与圆
相交于
两点，则
是“△ABO的面积为

”的（ ）

充分而不必要条件 必要而不充分条件

充分必要条件
既不充分又不必要条件

5． 已知函数 y = 2
的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a的值不可能是( )

A.
B.π C.
D. 2π

6.若
满足
且
的最小值为－2，则的值为（ ）

A. 1 B.－1 C. 2 D. --2

在空间直角坐标系
中，已知
，
，
，
，若

，
，
分别表示三棱锥
在
，
，
坐标平面上的正投影图形的

面积，则（ ）

A
B
且

C
且
D
且

8．已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为( )

A .
B.
C.
D.

已知向量 ， 满足 =1， 与 的夹角为 ，若对一切实数 x , ≥ 恒成立，则 的取值范围是( )

B. C. D.

10．已知
，
。现有下列命题：

①
；②
；③
。其中的所有正确命题的序号是( )

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

（一）必考题（11—14题）

11．.不等式
的解集为 .

12. 已知偶函数
在
单调递减，
.若
，则的取值集合是__________.

13．过点
作斜率为
的直线与椭圆：
相交于A,B，若M

是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为

14. 以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数
，存在一个正数
，使得函数
的值域包含于区间
。例如，当
，
时，
，
。现有如下命题：

①设函数
的定义域为，则“
”的充要条件是“
，
，
”；

②函数
的充要条件是
有最大值和最小值；

③若函数
，
的定义域相同，且
，
，则

④若函数
（
，
）有最大值，则
。

其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号）

（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15．（选修4-1：几何证明选讲）已知AB，BC是圆O的两条弦，

AOBC，AB=
，

BC=
，则圆O的半径等于________。

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线
的参数方程是

，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
，则
与
交点的直角坐标为________

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

求角C的大小，

若c=2，求使ΔABC面积最大时，a,b的值。

18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
满足：
为数列
的前项和，且 2，
，
成等差数列.

求数列
的通项公式；

(2) 若
，
求数列
的前项和.

19．（本小题满分12分）如图，
中，
两点分别是线段
的中点，现将
沿
折成直二面角
。

(1) 求证：
； (2) 求直线
与平面
所成角的正切值。

20．（本小题满分12分）某省进行高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：

科目

语文

数学

科目A

科目B

科目C

科目D



分值

180

150

120

100

100

100





有老师建议语文放在首场，数学与科目A不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？

(2) 若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分ξ的分布列及期望值。

21．（本小题满分13分） 已知点（0，-2），椭圆：
的离心率为
，是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，为坐标原点.

(1) 求的方程；

(2) 设过点的直线与相交于
两点，当
的面积最大时，求
的方程.

22．（本小题满分14分）已知函数 f (x) = + ax (a<0)

若 f (x) 在 x =0处取极值，求a的值，

讨论 f(x) 的单调性，

证明

? < ,

( e为自然对数的底数, n∈N? )

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期新高三起点考试

数 学 试 卷（理 科）答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

C

A

D

B

D

A

C

A





11. ( —∞ , —3] U [ 2, + ∞ ) 12. ( -- 1 , 3 )

13. 14. (1)(3)(4)

16。(
, 1 )

17.解：(Ⅰ)

由题意及正弦定理

即

从而

又

…………………6分

(Ⅱ) 由余弦定理

即

(当且仅当
时成立)

ΔABC面积最大为
，此时

故当
时，ΔABC的面积最大为
.

18．．解：(1) ∵ 2an=Sn+2

∴ N=1 ,a1=2

n
2,an=Sn- Sn-1

∴an=2an-1(n≥2)

∴ 通项公式为
…………………6分

19. 解：(Ⅰ) 由
两点分别是线段
的中点，

得
，

为二面角
平面角，
。

又

……………7分

(Ⅱ) 连结BE交CD于H，连结AH

过点D作
于O。

，

所以
为
与平面
所成角。

中，
，

中，
.

所以直线
与平面
所成角的正切值为
。 ……………13分

20.(1) P=1— =

(2) ξ 可能值为380，400，430，450，

ξ的分布列为

ξ

380

400

430

450



P

0.3

0.3

0.3

0.1



E( ξ )=408

21. 解：(Ⅰ) 显然是椭圆的右焦点，设

由题意

又离心率

，

故椭圆的方程为
…………. …………4分

(Ⅱ) 由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为

联立直线与椭圆方程：
，化简得：

设
，则

坐标原点到直线的距离为

令
，则

（当且仅当
即
时等号成立）

故当
即
，
时
的面积最大

从而直线
的方程为
.…………. …………13分