河南省洛阳市第一中学2014届高三下学期2月月考数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1、设全集
是实数集，M=
，N＝
，则图中阴影部分表示的集合是 ( )

A．{|1＜≤2
B．{|0≤≤2} C．{|1≤≤2
D．{|＜0}

2、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6

的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A、
B、

C、 D、

4、下列说法不正确的是（ ）

A．“
”的否定是“
”

B．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题

C．
满足x1<1

D．△ABC中，A是最大角，则

5、在
的任一排列
中，使相邻两整数互质的排列方式种数共有（ ）

A．
B．
C．
D．

6、设
分别为双曲线
的左右焦点，过
引圆
的切线
交双曲线的右支于点，为切点，
为线段
的中点，
为坐标原点，则
等于（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

7、已知函数
的两个极值点分别为
，且
，
，点
表示的平面区域为，若函数
的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、设四面体的六条棱的长分别为
和,且长为的棱与长为
的棱异面, 则的取值范围是（　　）

A、
B、
C、
D、

10、已知函数
有两个零点
，则有 （ ）

A、
B、
C、
D、

11、设函数
的最小值记为
的单调递增区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、定义域为
的函数
图象的两个端点为
，
是
图象上任意一点，其中
，
已知向量
，若不等式
恒成立，则称函数
在
上“
阶线性近似”．若函数
在
上“
阶线性近似”，则实数
的取值范围为( )

A．[0，＋∞) B．[
，＋∞)

C．[
，＋∞) D．[
，＋∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱
，则正三棱锥
外接球的表面积为____________.

14、如图,过抛物线
焦点的直线依次交抛物线与圆
于点A、B、 C、D,则
的值是________.

15、椭圆
为定值，且
的的左焦点为，直线
与椭圆相交于点、两点，
的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

16、在等差数列
中，
，
，记数列
的前项和为
，若
对
恒成立，则正整数的最小值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分10分）已知
，满足

．

（1）将表示为的函数
，并求
的最小正周期；

（2）已知
分别为
的三个内角
对应的边长，若
对所有
恒成立，且
，求
的取值范围

18、（本题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以用它计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克）= 耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

（I）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；

（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。

如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记
表示25个人中低碳族人数，求

19、（本小题满分12分）已知数列
的前n项和
（n为正整数）。

（1）令
，求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（2）令
，
，试求
。

20、（本小题满分12分）如图，平面
，
是等腰直角三角形，
，四边形
是直角梯形，
，
，
，
分别为
的中点。

（I）求证：
//平面
；

（II）求直线
和平面
所成角的正弦值；

（III）能否在
上找一点
，使得
ON⊥平面ABDE？

若能，请指出点N的位置，并加以证明； 若不能，请说明理由。

21、（本小题满分12分）
的内切圆与三边
的切点分别为
，已知
，内切圆圆心
，设点的轨迹为。

（1）求的方程；

（2）过点
的动直线交曲线于不同的两点
，问在轴上是否存在一定点
（
不与
重合），使
恒成立，若存在，试求出
点的坐标，若不存在，说明理由。

22、（本题满分12分）设函数
，其中
．

（1）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（2）求函数
的极值点；

（3）证明对任意的正整数，不等式
都成立．

河南省洛阳市第一中学2014届高三下学期2月月考数学（理）试题参考答案

一、选择题：CBBCB DBCAB BD

二、填空题：13、
、；14、1；15、
；16、5

（II）因为
对所有
恒成立，所以
，且
。因为为三角形内角，所以
，所以
．

由正弦定理得
，
，

，
，
，所以
的取值范围为

18、解：（I）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A

（II）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率

2周后低碳族的概率
， 依题意

所以

19、解：（1）n=1时，
，即

当
时，
，

.

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列.

.

（2）由（1）得
，

所以

由①-②得

20、（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB

∴OF//DB，OF=DB∴四边形BDOF是平行四边∴OD//FB

又
平面
，OD平面ABC∴OD//平面ABC。（II）∵DB⊥面ABC，又

，

面ABDE，
面ABC，∵BD//AE，∴EA⊥面ABC

如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系∵AC=BC=4，

∴C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4）

，设面ODM的法向量
，则由
，
，可得

令x=2，

得：

，设直线CD和平面ODM所成角为
。

则：

∴直线CD和平面ODM所成角正弦值为

（III）方法一：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。

证明：取EM中点N，连结ON、CM，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，

又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE
面ABC=AB，CM面ABC，

∴CM⊥AB，∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON//CM，

∴ON⊥平面ABDE。

方法二 当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。

∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE
面ABC=AB，DB面ABDE

∴DB⊥面ABC，

∵BD//AE，∴EA⊥面ABC。

如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=4，

则C（0，0，0），A（4，0，0），B(0,4,0)D（0，4，2），E（4，0，4）

∴O（2，0，2），M（2，2，0），设N（a，b，c），

是面ABC的一个法向量，

即N是线段EM的中点，∴当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。

21、解：（1）设点
，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故L的方程为
4分

（2）设点
由（I）可知

①当直线
轴时

点
在轴上任何一点处都能使得
成立

②当直线MN不与轴垂直时，设直线

由
得

9分

要使
，只需
成立

即
即

即
故
,故所求的点Q的坐标为
时

使
成立。

即
在
上恒成立，当
时，
，

当
时，函数
在定义域
上单调递增．

（2）①由（1）得，当
时，函数
无极值点．

②
时，
有两个相同的解
，

时，
，
时，
，

时，函数
在
上无极值点．

③当
时，
有两个不同解，
，
，