华东师大二附中2015届暑期练习（四）

数学试卷

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
是第二象限角，则
是第 象限角．

2、复数
满足
，则此复数
所对应的点的轨迹方程是 .

3、已知全集
，集合
,
,

若
，则实数
的值为 .

一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与

某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球

的体积之比为 .

已知
， 则
的值为 .

定义在
上的奇函数
，
，且当
时，

（
为常数），则
的值为 .

7、公差不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，且
，

则
等于 .

已知等差数列
的通项公式为
，则
的展开式中
项的系数是数列
中的第 项．

9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点
，极轴与
轴的非负半轴重合.若直线
的极坐标方程为

，曲线
的参数方程为

为参数，且
，则直线
与曲线
的交点的直角坐标为 .

10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .

11、棱长为1的正方体
及其内部一动点
，集合
,则集合
构成的几何体表面积为 .

12、
是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值等于 .

13、设
为实数，且满足：
，

，则
.

14、在区间
上，关于
的方程
解的个数为 ．

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、已知
为实数，若复数
是纯虚数，则
的虚部为（ ）

、

、

、

、

16、“
”是“函数
（
）在区间
上为增函数”的( )

、充分不必要条件
、必要不充分条件
、充要条件
、既不充分也不必要条件

如果函数
在
上的最大值和最小值分别为
、
，

那么
.根据这一结论求出
的取值范围（ ）.

、

、


、

、

18、如图，已知点
，正方形
内接于⊙
，
、
分别为边
、
的中点，当正方形
绕圆心
旋转时，
的取值范围是（ ）

、

、

、

、

解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）如图，直四棱柱
,

底面
直角梯形，
∥
，
，
是棱
上一点，
，
，
，
，
.

（1）求异面直线
与
所成的角；

求证：
平面
.

20、（本题满分14分）已知数列
和
满足：
，其中
为实数，
为正整数.

（1）对任意实数
，求证：
不成等比数列；（2）试判断数列
是否为等比数列，

并证明你的结论.

21、（本题满分14分）如图，
、
是两个小区所在地，
、
到一条公路
的垂直距离分别为

，

，
两端之间的距离为

.

（1）某移动公司将在
之间找一点
，在
处建造一个信号塔，使得
对
、
的张角与
对
、
的张角相等，试确定点
的位置.

（2）环保部门将在
之间找一点
，在
处建造一个垃圾处理厂，使得
对
、
所张角最大，试确定点
的位置.

22、（本题满分16分）阅读：

已知
、
，
，求
的最小值.

解法如下：
，

当且仅当
，即
时取到等号，则
的最小值为
.

应用上述解法，求解下列问题：

（1）已知
，
，求
的最小值；

（2）已知
，求函数
的最小值；

（3）已知正数
、
、
，
，

求证：
.

23、（本题满分18分）已知函数

常数
）满足
.

（1）求出
的值，并就常数
的不同取值讨论函数
奇偶性；

（2）若
在区间
上单调递减，求
的最小值；

（3）在（2）的条件下，当
取最小值时，证明：
恰有一个零点
且存在递增的正整数数列
，

使得
成立.

参考答案 　 　

1、 一或三;2、
．3、
4、
. 5

6、
.7、
. 8、 20 9、
；

设取红球
个，白球
个，则

，

取法为
. 11、
.

12、9. 13、
. 14、
个解.

15、

则
，
，选
.

16、
时，
在
上为增函数；

反之，
在区间
上为增函数，则
，故选
.

17、求
在
上的最值，选
.

18、
且长度为1，可设
，
，然后用坐标求解.也可以
，答案选
.

19、解：（1）以
原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.

则
，
，
，
.

于是
,
,
,

异面直线
与
所成的角的大小等于
.

过
作
交
于
，在
中，
，
，则
，

，
，

，

，
.

又
，

平面
.

20、解（1）证明：假设存在一个实数
，使
是等比数列，则有
,

即
矛盾.所以
不成等比数列.（2）因为

,又
,所以当
，
，(
为正整数)，此时
不是等比数列：当
时，
，由上式可知
，∴
(
为正整数) ，

故当
时，数列
是以
为首项，－
为公比的等比数列.

21、解：（1）设
，
，
.依题意有
，
.

由
，得
，解得
，故点
应选在距
点2