填空题（共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）

1．已知集合
，则
．{1,2,3}

2．已知是虚数单位，复数满足
，则
______．

3．
的值为 ．-2

4．一组数据9.8，?9.9，?10，a，?10.2的平均数为10，

则该组数据的方差为 ．0.02

5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为
时，

则输入的
的值为 ．10

6．已知单位向量
满足
，则
的夹角为 ．

7．已知点
与点
在直线
的两侧，

且
，则
的取值范围是 ．

8．设
是等比数列
的前项和，若

，则
．1

9．已知，是空间中两条不同的直线，，
，是空间中三个不同的平面，

则下列命题正确的序号是 ．①

①若
，
，则
； ②若
，
，则
；

③若
，
，则
； ④若
，
，则
．

10．设为
图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为 ．2

11．将一枚骰子抛掷两次，记先后出现的点数分别为
，

则方程
有实根的概率为 ．

12．⊙A：(x－3)2+(y－5)2=1，⊙B:(x－2)2+(y－6)2=1，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若
的最小值为 ．

13．若关于x的不等式(组)
任意n∈N*恒成立

则所有这样的解x的集合是 ．

14．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=
AC（
为常数，且
），
为定长，则△ABC的面积最大值为 ．

16．（本题满分14分）

已知函数
（
，是实常数）的图像上的一个最高点
，与该最高点最近的一个最低点是
，

(1)求函数
的解析式及其单调增区间；

(2)在锐角三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
，且
，

试求函数
的取值范围.

17．（本题满分14分）

某公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%。

（1）若建立函数
模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数
模型的基本要求，并分析函数
是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因。

（2）该公司是否可以用函数
作为奖励模型函数，如果可以，试确定最小的正整数的值，如果不可以，请说明理由。

又
对于任意的
恒成立，知
得

故该公司不可以用函数
作为奖励模型函数。

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.

(1)求椭圆
的方程;

(2) 设点是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值；

（3）在第(2)问的条件下，作
，设
交
于点
，

证明：当点在椭圆上移动时，点
在某定直线上.

解：（1）解(1)由题意得
，又
--------------2分

消去可得，
，解得
或
（舍去），

则
，椭圆
的方程为
．---------------------------------------------------4分

（2）设直线l的方程为
，点

由

------------------------------------6分

，当
时，
，直线和椭圆相交，∴

由
---------------------------------9分

代入得

定值 ---------------------------------12分

用导数求解也可，若直接用切线斜率公式扣3分

（3）
的斜率为
，又

从而直线
的方程为：
，联立方程

消去得方程
，得点
在直线
上-----------------------------16分

19．（本题满分16分）

数列
的首项为（
），前项和为
，且
（
）．设
，
（
）．

（1）求数列
的通项公式

（2）当
时，若对任意
，
恒成立，试求的取值范围

（3）当
时，试求三个正数，，
的一组值，使得
为等比数列，

且，，
成等差数列．

解：（1）
，
时

两式相减得
（
），又由
得

所以
是首项为，公比为的等比数列，所以
------------------4分

20．（本小题满分16分）

已知函数
，
，
．

（1）当
，
时，求函数
的单调区间；

（2）当
时，若
对
恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数
的图象在点
、
两处的切线分别为
、
．

若
，
，且
，求实数的最小值．

解：函数
，求导得
．

（3）由
知，
，而
，则
，

若
，则
，所以
，

解得
，不符合题意； -----------------------------------------11分

故
，则
，

整理得，
，由
得，
， ----------------------------------------13分

令
，则
，
，所以
，

设
，则
，

当
时，
，
在
上单调减；

当
时，
，
在
上单调增．

所以，函数
的最小值为
，故实数的最小值为
． --------------16分

第Ⅱ卷(附加题)

B、设
是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到
倍的伸压变换．

（1）求矩阵
逆矩阵；

（2）求矩阵
的特征值及相应的特征向量．

解：（1）由条件得矩阵
----------------------------------------3分

它的特征值为和
，对应的特征向量为
及
-------------------------6分

（2）
-------------------------10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程为
，(
为参数，
).以
为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆C上的点到直线
的最大距离为3.

21．（本小题满分12分）

某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间
（单位：年）有关．若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元，设每台该种电器的无故障使用时间
，
，
这三种情况发生的概率分别是
，又知
是方程
的两个根，且
．

（1）求
的值；

（2）记
表示销售两台该种电器的销售利润总和，求
的分布列及期望．

解：（1）
----------------------------------------------------------------3分

（2）X的可能取值为0，100，200，300,400

---------------------------------------------------------------------------8分

----------------------------------------------------------------------10分

23．已知集合
，其中
，
表示

的所有不同值的个数．

（1）已知集合
，
，分别求
，
；

（2）求
的最小值．