南京市2014届高三年级第三次模拟考试

数 学 2014.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，xR}，B＝{x|x＜1，xR}，则(?UA)∩B＝ ▲ ．

2．已知(1＋)2＝a＋bi(a，bR，i为虚数单位)，则a＋b＝ ▲ ．

3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．

4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ▲ ．

5．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．

6．已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为 ▲ ．

7．已知tanα＝－2，，且＜α＜π，则cosα＋sinα＝ ▲ ．

8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：

①若α⊥β，m⊥α，则m∥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m∥α，m⊥n，则n⊥α； ④若m∥α，mβ，则α∥β．

其中所有真命题的序号是 ▲ ．

9．将函数f(x)＝sin(3x＋)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)在[，]上的最小值为 ▲ ．

10．已知数列{an}满足an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为Sn．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为 ▲ ．

11．已知函数f (x)＝ ，则关于x的不等式f(x2)＞f(3－2x)的解集是 ▲ ．

12．在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60(，则圆M的方程为 ．

14．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝．

（1）求B；

（2）若cos(C＋)＝，求sinA的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB(平面PAD，△PAD是正三角形，

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：平面PBC(平面PDC.

17．(本小题满分14分)

某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)＝，其中t＝2，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

18．(本小题满分16分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作

两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．

20．(本小题满分16分)

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，

bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

南京市2014届高三年级第三次模拟考试

数学附加题 2014.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一

点，AE为圆O的切线，求证：CD2＝BD·EC．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点

(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

D．选修4—5：不等式选讲

已知a，b，cR，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．

（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．

23．（本小题满分10分）

已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，……，集合Sk中所有元素的平均

值记为bk．将所有bk组成数组T：b1，b2，b3，……，数组T中所有数的平均值记为m(T)．

（1）若S={1，2}，求m(T)；

（2）若S＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥2），求m(T)．

南京市2014届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案 2014.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．(－2，1) 2．－7 3．30 4． 5．11 6． 7．

8．② 9．－ 10．1 11．(－∞，－3)∪(1，3) 12．[，2]

13．(x－1)2＋y2＝1 14．2－2

二、解答题：

15．(本小题满分14分)

解：(1)由＋1＝及正弦定理，得＋1＝，………………………………………2分

所以＝，即＝，则＝．

因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB＝． ………………………………………5分

因为B(0，π)，所以B＝． ………………………………………7分

（2）因为0＜C＜，所以＜C＋＜．

因为cos(C＋)＝，所以sin(C＋)＝． ………………………………………10分

所以sinA＝sin(B＋C)＝sin(C＋)＝sin[(C＋)＋] ………………………………………12分

＝sin(C＋)cos＋cos(C＋)sin

＝． ………………………………………14分

16．(本小题满分14分)

证 （1）因为OE∥平面PBC，OE(平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，

所以AO∶OC＝AE∶EP． ………………………………………3分

因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.

所以＝． ………………………………………6分

（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．

因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．

因为F为PC的中点，所以DF⊥PC. ………………………………………8分

因为AB(平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．

因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．

设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a．

在Rt△PAB中，PB＝a．

在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a．

因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．

在Rt△PFB中，FB＝a．

在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．

………………………………………12分

由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB(平面PBC，所以DF⊥平面PBC．

又DF(平面PCD，所以平面PBC(平面PDC． ………………………………………14分

法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，

所以MF∥DC，MF＝DC．

因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，

即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF． ………………………………………8分

在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．

又因为DC//AB，所以DC⊥AM．

因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．

又因为PD∩DC＝D，PD、DC(平面PCD，所以BF⊥平面PCD．……………………………12分

因为BF(平面PBC，所以平面PBC(平面PDC. ………………………………………14分

17．(本小题满分14分)

解：（1）由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A．

所以解得a＝1，b＝8． ………………………………………4分

所以f(n)＝，其中t＝2．

令f(n)＝8A，得＝8A，解得tn＝，

即2＝，所以n＝9．

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ………………………………………6分

（2）由（1）知f(n)＝．

第n年的增长高度为△＝f(n)－f(n－1)＝－． ……………………………9分

所以△＝＝

＝ ………………………………………12分

≤＝＝．

当且仅当64tn＝，即2＝时取等号，此时n＝5．

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………………………………14分

18．(本小题满分16分)

解：（1）由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4．

所以椭圆方程为：＋＝1． ………………………………………3分

（2）设l1方程为y＋1＝k(x＋1)，

联立消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0．

因为P为（－1，1），解得M（，）．………………………………………5分

当k≠0时，用－代替k，得N（，）． ………………………………………7分

将k＝－1代入，得M（－2，0），N（1，1）．

因为P（－1，－1），所以PM＝，PN＝2，

所以△PMN的面积为××2＝2． ………………………………………9分

（3）解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0．…………………12分

若x1＋x2＝0，则N(－x１，－y１)．

　　 因为PM⊥PN，所以·＝0，得x12＋y12＝2．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1， 1)．

所以直线MN的方程为y＝－x． ………………………………………14分

若x1－x2＝0，则N（x1，－y1），

因为PM⊥PN，所以·＝0，得y12＝(x1＋1)2＋1．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝－或－1，

经检验：x＝－满足条件，x＝－1不满足条件．

综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－． ………………………………………16分

解法二：由（2）知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以＝－，

化简得4k (k2－4k－1)＝0，解得k＝2±． ………………………………………12分

若k＝2＋，则M（－，），N（－，－），此时直线MN的方程为x＝－．

若k＝2－，则M（－，－），N（－，），此时直线MN的方程为x＝－．…………14分

当k＝0时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0．

综上，直线MN的方程为x＝－或x＋y＝0． ………………………………………16分

19．(本小题满分16分)

解：（1）因为点P(1，－1)在曲线y＝f(x)上，所以－m＝－1，解得m＝1．

因为f ′(x)＝－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1．…………………………………3分

（2）因为f ′(x)＝－m＝．

①当m≤0时， x∈(1，e)， f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x) max＝f (e)＝1－me．

②当≥e，即0＜m≤时，x∈(1，e)， f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x)max＝

f (e)＝1－me． ………………………………………5分

③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f (x)在 (1，)上单调递增，在(，e)上单调递减，

则f (x) max＝f ()＝－lnm－1． ………………………………………7分

④当≤1，即m≥1时，x∈(1，e)， f ′(x)＜0，函数f (x)在(1，e)上单调递减，则f (x) max＝f (1)＝－m．

………………………………………9分

综上，①当m≤时，f (x)max＝1－me；

②当＜m＜1时，f (x)max＝－lnm－1；

③当m≥1时，f (x)max＝－m． ………………………………………10分

（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f (x1)＝f (x2)＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0