华东师大二附中2015届暑期练习（六）

数学试卷

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

1．已知集合
，
，则
____________．

2．直线
的倾斜角的大小是____________．

3．函数
的单调递减区间是____________．

4．函数
的值域是____________．

5．设复数
满足
，则
＝____________．

6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.

7．函数
的最小正周期
=____________．

8．已知函数
，则
____________．

9．如图，在直三棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值是____________．

10．若
的展开式中
的系数为
，

则
=____________．

11．在极坐标系中，定点A
点B在直线
上运动，则点A和点B间的最短距离为____________．

12．如图，三行三列的方阵中有9个数
，从中任取三个数，

则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)

13．如图所示，在边长为2的正六边形
中，动圆
的半径为1，圆心在线段
（含端点）上运动，
是圆
上及内部的动点，设向量
为实数），则
的最大值为____________．

14．对于集合
（
，定义集合
，记集合
中的元素个数为
．若
是公差大于零的等差数列，则
=____________．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．已知直线
平面
，直线

平面
，给出下列命题,其中正确的是-------------( )

①
②

③
④

A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③

16．在
中，角
的对边分别是
，且
，则
等于-------（ ）

A．
B．
C．
D．

17．函数
图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下

不可能成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ）

A．
B．
C．
D．

18．设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）

A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分）

如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与
交于点
），将△
绕直线
旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积．

20．（本题满分14分）

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知
，
，
（千米），
（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．

（即从B点出发到达C点）

21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知直线
与椭圆
交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）

定义：对于函数
，若存在非零常数
，使函数
对于定义域内的任意实数
，都有
，则称函数
是广义周期函数，其中称
为函数
的广义周期，
称为周距．

（1）证明函数
是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距
的值；

（2）试求一个函数
，使
（
为常数，
）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期
和周距
；

（3）设函数
是周期
的周期函数，当函数
在
上的值域为
时，求
在
上的最大值和最小值．

23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分）

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数
）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：
；
为数表中第
行的第
个数．

求第2行和第3行的通项公式
和
；

证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求
关于
（
）的表达式；

（3）若
，
，试求一个等比数列
，使得
，且对于任意的
，均存在实数
?，当
时，都有
．

参考答案 　 　

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．
　　 ２．
　　3．
4．
　

5．
　　　6．40 7．
　 　8．
　 9．
　　10．2　　　

11．
12．
　　13．5 14．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．Ｃ　　　16．Ｄ　　　17．Ｂ　　　18．Ｃ

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

解：（1）连接
，则
，

设
，则
，

在
中，
，

所以
，--------------------------（4分）

所以
．-----------------（6分）

（2）

中，
，
,
，

，-------------------------------（8分）

．（12分）

20．（本题满分14分）

解：由
知
，

由正弦定理得
，所以，
．---------------------------------------（4分）

在
中，由余弦定理得：
，

即
，即
，

解得
（千米）， -----------------------------------------------（10分）

（千米），--------------------------------------------------------------------（12分）

由于
，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分）

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）设椭圆的短半轴为
，半焦距为
，

则
，由
得
，

由
解得
,则椭圆方程为
. ----------（6分）

（2）由
得

设
由韦达定理得：

=

=
=
，----------------（10分）

当
，即
时，

为定值，所以，存在点

使得
为定值（14分）．

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）

解：（1）

，

，（非零常数）

所以函数
是广义周期函数，它的周距为2．-----（4分）

（2）设
，则

（非零常数） 所以
是广义周期函数，且
．-----------------（ 9分）

（3）
，

所以
是广义周期函数，且
．------------------------------------------（10分）

设
满足
，

由
得：

，

又
知道
在区间
上的最小值是
在
上获得的，而
，所以
在
上的最小值为
．--------------------（ 13分）

由
得
得：

，

又
知道
在区间
上的最大值是
在
上获得的，

而
，所以
在
上的最大值为23．-----------------------（16分）

23．（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分．）

解：（1）

．--------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）

（2）由已知，第一行是等差数列，假设第
行是以
为公差的等差数列，

则由

（常数）知第
行的数也依次成等差数列，且其公差为
.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分）

由于
，所以
，所以

，由
，

得

， （9分）

于是
，

即
，又因为
，所以，数列
是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，
，所以
（
）． （12分）

（3）

，

，

令